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Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P2 -2017.1, Questão 05

Seja a matriz A uma matriz m × n e u → , v → , w → ⊆ R n .

I -   Se A u → , A v → , A w → é linearmente independente, então { u → , v → , w → } é linearmente independente

I I -   Se   { u → , v → , w → } é linearmente independente, então A u → , A v → , A w → é linearmente independente

a) I é falsa e I I é verdadeira

b) Ambas são falsas

c) I é verdadeira e I I é falsa

d) Ambas são verdadeiras

Passo 1

Vamos começar pela afirmativa I I :

Imagina aqui comigo que m < n , ou seja o número de colunas da matriz é maior que o de linhas, por exemplo:

A = a b c d e f

Essa matriz é R 3 → R 2 ou seja, os vetores do domínio são do R 3 e quando aplicados a matriz, geram vetores do R 2 .

E aí se eu pegar 3 vetores L I e aplicar nessa matriz, meus resultados vao formar um conjunto L I ? Não!!! É impossível eu ter 3 vetores do R 2   formando um conjunto L I !

Passo 2

Vamos ver um exemplo:

A = 2 3 1 1 0 - 2

u → , v → , w → = { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 }

A = 2 1 1 1 0 - 2 1 0 0 = 2 1

A = 2 1 1 1 0 - 2 0 1 1 = 1 0

A = 2 1 1 1 0 - 2 0 0 1 = 1 - 2

Vemos que:

1 , - 2 = - 2 2,1 + 5 ( 1,0 )

Achamos um contraexemplo! Logo a afirmativa I I deve ser falsa!!

Passo 3

No entanto, a primeira afirmativa é verdadeira!

Repara que o fato de eu multiplicar os vetores por uma matriz A não pode “criar” dimensões. Então se A u → , A v → , A w → , { u → , v → , w → } também tem que ser! A multiplicação por A não vai fazer o conjunto gerar uma dimensão maior!

Resposta

c

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