USP, Álgebra Linear 2, P1-2017, Questão 01
01) Seja a transformação linear definida por:
Para quaisquer Considere as seguintes afirmações:
- é injetora;
- é gerado por:
- O subespaço vetorial:
e
De está contido em
Assinale a alternativa correta:
a) apenas a afirmação II é verdadeira;
b) apenas a afirmação I é verdadeira;
c) apenas as afirmações II e III são verdadeiras;
d) apenas a afirmação III é verdadeira;
e) todas as afirmações são verdadeiras.
Passo 1
Faala aí galerinhaa, como é que vocês estão?
Essa questão é bem interessante, basicamente ela nos dá uma transformação linear , cujo domínio são as matrizes de coeficientes reais, e o contradomínio são os próprios números reais:
Massa! A partir disso são feitas algumas afirmações e precisamos verificar se elas são verdadeiras ou não (o clássico de álgebra linear né galera?! Haha).
I) Pra começar devemos verificar se é injetora.
Mas, o que significa uma transformação linear ser dita injetora?
Bom, chamar uma transformação de injetora significa que:
Ou seja, cada elemento do domínio relaciona-se com um elemento diferente do contradomínio.
Então tá, vamo usar a definição pra tentar provar.
Vou chamar:
Agora vamos chamar:
Logo:
Beleza! O passo final é supor que e ver se é possível afirmar que, com certeza, . Sacaram?
Daí:
Pô, isso não implica que . De fato, existem infinitos pares de números reais e tais que suas somas coincidem. Por exemplo:
E:
Viram? Por isso, concluímos que não é injetora.
Entenderam a ideia dessa prova pela definição? É bem importante hein.
Passo 2
II) A segunda afirmação diz que o espaço nulo de , é gerado por:
Lembra como fazemos pra encontrar o espaço nulo de
Hahaha, calma. O espaço nulo é o subespaço do domínio que contém todos os elementos (no caso dessa questão, matrizes) tais que:
Sacou? Então novamente, bora usar essa definição pra determinar a base do espaço nulo de .
Inicialmente, supomos que , logo:
Como, supostamente, , vem:
Voltando para a matriz, temos:
Agora vem uma dica legal. Pra descobrir a base que gera as matrizes tipo é só irmos tirando essas constantes pra fora da matriz. Tipo:
Tão pegando a ideia? Podemos tirar e também, logo:
Bouaaa! Conseguimos descobrir então que se , então ela é combinação linear dos vetores:
Massa!! Isso já significa que a afirmação II é verdadeira, muito bom.
Uma observação legal é que isso poderia nos ajudar também na afirmação I, pois em uma transformação injetora a dimensão do espaço nulo é sempre zero! Ou seja:
Maaas, como vimos agora , reforçando que realmente não é injetora.
Legal né? Vamo simbora!
Passo 3
III) Devemos verificar se o subespaço vetorial
Está contido em . Ou seja, se todas as matrizes , com coeficiente reais, e que obedecem à equação matricial acima, pertencem ao espaço nulo de .
O ponto importante aqui galera é que todas as matrizes que pertencem a precisam pertencer a .
Ou seja, se tá muito difícil conseguir encontrar qual o tipo geral da matriz , podemos buscar apenas um exemplo de e testar na nossa transformação.
Se = 0, então não podemos afirmar nada e precisamos pegar outros exemplos ou tentar demonstrar valendo mesmo.
Maaaas, se para pelo menos uma matriz , tivermos , a afirmação já é falsa.
Agora me diz aí, qual a matriz mais simples de todas que com certeza satisfaz:
É a matriz identidadeeee!!!
De fato:
Então bora testar se é realmente igual a zero.
Logo,
Portanto, encontramos uma matriz de que não pertence ao espaço nulo de . Logo, concluímos que não é um subespaço de , entenderam?
Assim, a afirmação III é falsa!
Prontinhoo, finalizando temos que apenas a afirmação II é verdadeira.
É isso aí pessoal, espero que vocês tenham entendido bem. Até a próxima 😊
Resposta
Letra A.