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Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

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Enunciado

Determine se são transformações lineares T : R 2 → R 2 :

a   T x , y = ( x + 2 y , x y )

b   T x , y = ( x + 2 y , 0 )

c   T x , y = ( x 2 + 2 y , y )

Passo 1

Nesse exercício basta verificarmos se as transformações respeitam as condições para serem uma T L . Lembram quais são?

1   T u + v = T u + T v

2   T λ u = λ T u ,   ∀   λ ∈ R

Vamos começar então ;)

Passo 2

a I   T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2 =   T x 1 + x 2 , y 1 + y 2   I I

Desenvolvendo o lado I :

T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2

x 1 + 2 y 1 ,   x 1 y 1 + x 2 + 2 y 2 ,   x 2 y 2

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 , x 1 y 1 + x 2 y 2

Desenvolvendo o lado I I :

T x 1 + x 2 , y 1 + y 2

  x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 ,   x 1 + x 2 y 1 + y 2

Passo 3

Igualando I a I I :

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 , x 1 y 1 + x 2 y 2 = x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 ,   x 1 + x 2 y 1 + y 2

Dessa igualdade, chegamos ao seguinte:

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 = x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 x 1 y 1 + x 2 y 2 = x 1 + x 2 y 1 + y 2

Podemos ver que a primeira equação é satisfeita, mas a segunda claramente não bate. Logo, a transformação da letra a não é linear.

Passo 4

b I   T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2 =   T x 1 + x 2 , y 1 + y 2   I I

Desenvolvendo o lado I :

T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2

x 1 + 2 y 1 ,   0 + x 2 + 2 y 2 ,   0

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 , 0

Desenvolvendo o lado I I :

T x 1 + x 2 , y 1 + y 2

  x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 ,   0

Passo 5

Igualando I a I I :

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 , 0 = x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 ,   0

Daí,

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 = x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 0 = 0

Tanto a igualdade de cima quanto a de baixo conferem! Então ela é linear? Não!! Temos que verificar a segunda condição antes de podermos afirmar algo.

Passo 6

I I I   T λ x , λ y = λ T x , y   I V

Desenvolvendo o lado I I I :

T λ x , λ y

λ x + 2 λ y , 0

Desenvolvendo o lado I V :

λ T x , y

λ x + 2 y , 0

( λ x + λ 2 y , 0 )

Passo 7

Assim, podemos ver que I I I = ( I V ) .

Portanto, provamos que as condições da linearidade satisfazem a nossa transformação! Logo, podemos ver que ela é linear.

Passo 8

c I   T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2 =   T x 1 + x 2 , y 1 + y 2   I I

Desenvolvendo o lado I :

T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2

x 1 2 + 2 y 1 ,   y 1 + x 2 2 + 2 y 2 ,   y 2

x 1 2 + 2 y 1 + x 2 2 + 2 y 2 , y 1 + y 2

Desenvolvendo o lado I I :

T x 1 + x 2 , y 1 + y 2

x 1 + x 2 2 + 2 y 1 + y 2 , y 1 + y 2

Passo 9

Igualando I a I I :

x 1 2 + 2 y 1 + x 2 2 + 2 y 2 , y 1 + y 2 = x 1 + x 2 2 + 2 y 1 + y 2 , y 1 + y 2

Logo, chegamos às igualdades:

x 1 2 + 2 y 1 + x 2 2 + 2 y 2 = x 1 + x 2 2 + 2 y 1 + y 2 y 1 + y 2 = y 1 + y 2

Já falhou na primeira igualdade, logo, não é uma transformação linear.

Resposta

a Não é linear.

b É linear.

c Não é linear.

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