USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, PSUB - 2017, Questão 16.
16. Considere as bases e de e seja a transformação linear tal que:
Temos que a soma dos dois autovalores de é igual a:
(a) ;
(b) ;
(c) ;
(d) ;
(e) .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão, queremos obter a matriz transformação linear e obter a soma dos seus autovalores.
Pra isso, temos dois subespaços de bases e e
E aí, como podemos fazer isso? 🤔
O desafio aqui é obter a matriz transformação .
Sabemos que na base aplicada em é dada pela matriz
Então se obtermos um vetor combinação linear em e multiplicar pelo resultado da transformada , podemos encontrar essa matriz !
Entendeu? 🤔
Passo 2
Primeiro, vamos obter um vetor combinação linear da base , ou seja
Já temos o resultado da transformada de , portanto obtemos a partir do produto de com nosso vetor combinação linear , veja só
Passando para a forma matricial onde a primeira coluna são os valores de e a segunda coluna os valores de , temos
Portanto é a matriz que estamos procurando!
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
O que nos resta é obter os autovalores dessa matriz e somá-los
Assim, podemos ver que as raízes desse polinômio é e , ou seja, os autovalores da matriz !
Estmos interessados na soma desses valores, ou seja
Logo, a resposta que procuramos é a alternativa c)!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
(c) ;