USP, Álgebra Linear 2, P1-2017, Questão 11
11) Seja a transformação linear tal que:
e
Temos que é igual a:
a)
b)
c)
d)
e) .
Passo 1
Eaí pessoal, como vocês estão? Tudo certinho?
Nessa questão temos uma transformação linear , com domínio em e contradomínio em . Sobre não é dada a sua definição, apenas são falados três valores:
A pergunta é sobre o valor de , entenderam?
Puts, o problema todo é que não temos a definição de pra calcular . Será que é uma boa tentarmos encontrar essa definição (ou a matriz que representa essa transformação), ou tem um caminho mais fácil?
Passo 2
Então galera, não precisamos determinar a definição mesmo de . Lembram da propriedade que caracteriza uma transformação como linear?
Isso! Como sabemos o valor de para três polinômios destintos, podemos tentar escrever como uma combinação linear desses caras. Pegaram a ideia?
Daí:
Aí, pra determinar e é só montar um sisteminha:
De temos:
De , temos:
Substituindo esses resultados em , vem:
Logo:
Bouaaa! Conseguimos determinar como uma combinação linear dos três vetores que sabemos o valor de suas transformações .
Passo 3
Agora é só usar a linearidade de :
Vem que:
Substituindo os valores abaixo:
Chegamos que:
Pra finalizar, chegamos à querida resposta que:
Aeeeeeee, matamos mais umaa! Boa galeraaaa!
Espero que vocês tenham entendido bem direitinho, até a próxima 😉
Resposta
Letra E: .