USP Álgebra Linear 2 P2 2016
Sejam um inteiro, uma base de , um operador linear e . Denote por o operador identidade de e considere as seguintes opções.
- Se alguma coluna de é combinação linear das outras colunas, então o operador não é sobrejetor.
- Se alguma linha de é combinação linear das outras linhas, então é um autovalor de
- Se tem dimensão , tão não existe um autovalor tal que tenha dimensão
Quais delas são verdadeiras?
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez uma questão mais teórica!!!
Nosso objetivo é verificar quais das afirmações são verdadeiras. Então vamos lá.
Passo 2
Vamos começar pela primeira afirmação. Ela diz o seguinte: Se alguma coluna de é combinação linear das outras colunas, então o operador não é sobrejetor.
Como a matriz
cujas colunas são as transformações dos vetores canônicos quando aplicados representadas na base . E como é uma base do espaço, os vetores que formam essa base são linearmente independentes. Tranquilo até aqui?
Logo, se uma das colunas de é LD, então a transformação para algum vetor canônico é uma combinação linear das demais. Pois quando fazemos mudança de bases, os vetores LI são levados a outros vetores LI. E como temos um dos vetores canônicos sendo levados em um vetor LD isso implica que contém uma coluna LD.
Bacana né?
Mas não é isso que queremos provar, queremos verificar se é sobrejetor. Mas vimos que
tem colunas LD logo:
logo, pelo teorema do núcleo e da imagem, que diz que:
(a dimensão da imagem de T mais a dimensão do núcleo é a dimensão do espaço de origem )
Temos:
Ou seja, não é sobrejetiva, pois sua imagem tem dimensão menor que
Então a primeira afirmação é verdadeira!
Passo 3
Agora podemos verificar a segunda afirmação. Essa afirmação diz que:
Se alguma linha de é combinação linear das outras linhas, então é um autovalor de
Para verificar essa afirmação vamos mostrar que se tem linhas LD então
Bem da propriedade do determinante tem se
(mas como as linhas de A são LD, então as colunas de sua transposta serão LD)
Logo
tem colunas LD
Ou seja, linhas LD implicam em colunas LD.
Agora podemos usar o resultado que construímos na afirmação 1
Chegamos a conclusão que se contém colunas LD então também contém colunas LD.
Logo
Ou seja é um autovalor de
.
Então chegamos a conclusão que a segunda afirmação é verdadeira. Só falta verificarmos a última!!
Passo 4
Finalmente, estamos quase terminando a questão!!! 😊
Para finalizar, vamos checar a terceira afirmação. Ela diz o seguinte:
Se tem dimensão , então não existe um autovalor tal que tenha dimensão
Bem vamos pensar aqui, qual é a dimensão máxima do espaço gerado pelos autovetores? Será a dimensão do próprio espaço, certo? Mas vimos da afirmação 2 que se , então é autovalor de .
Logo, como tem dimensão , os outros autovetores só podem gerar um espaço de dimensão de no máximo .
Logo, é impossível existir um autovalor tal que tenha dimensão
Então a terceira afirmação é verdadeira!!!
E com isso chegamos ao fim de mais uma questão de algelin. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!! 😊
Resposta
a)