USP, Álgebra Linear 2, P1-2017, Questão 07
07) Considere a base de dada por
e seja a transformação linear tal que:
Denote por a base canônica de . Se
então e serão iguais respectivamente a:
a) e
b) e ;
c) e
d) e
e) e ;
Passo 1
Faaala pessoal, tudo bom com vocês?
Nessa questão temos uma transformação linear , com domínio e contradomínio em . São dadas duas bases do , a base e a base canônica. Também é dada a matriz que representa a transformação linear dentro da base :
Essa matriz recebe um vetor escrito na base e devolve, depois de aplicar a transformação , um vetor também escrito na base .
A questão nos pede para determinar ou seja, a matriz que recebe um vetor escrito na base canônica e devolve, após aplicar a transformação , um vetor também escrito em .
Massa! Mas como é que podemos escrever essa matriz ?
Então galera, sempre que queremos escrever uma matriz que represente uma transformação linear em uma dada base precisamos saber duas coisas: e . Ou seja, o valor da transformação para os vetores que compõem essa base. Depois é só escrever:
Pegaram a ideia? Então beleza, bora pras contas!
Passo 2
Passo 3
Como falamos antes, precisamos descobrir quanto que vale e .
Mas, como já temos a matriz , e conhecemos também a sua base escrita em função da base canônica, temos que:
Vamos então pegar esses vetores que foram cuspidos na base e escrevê-los na base canônica:
Boauaa! Para , temos:
Muito bom! Isso significa que já sabemos alguns valores importantes da transformação dentro da base , olha:
Excelente!! Ter descoberto foi ótimo, agora já conhecemos a segunda coluna de .
Passo 4
Pra matar de vez essa questão precisamos calcular . Parece bem complicado né? Mas, encontramos uma equação bem interessante pra o vetor certo?
Todos esses vetores estão escritos na base canônica. Assim, podemos aplicar a transformação dos dois lados, pois já conhecemos os valores de e em
Show, então bora lá!
Só que as transformações lineares são homogêneas, ou seja, a gente pode tirar as constantes pra fora da transformação, e aí vai ficar algo tipo assim:
Ótimo! Já sabemos que, na base canônica, e . Substituindo vem:
Aeee, excelente galera! Agora, lembrando que:
É só substituir, e teremos:
Daí, pra terminar, pelo enunciado temos:
vamos ter que:
Boaaaa! Terminamos!
Conseguiram entender tudinho tudinho? É isso então, até a próxima pessoal 😉
Resposta
Letra d: e .