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Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

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Enunciado

USP; Sem campus; Algebra Linear 2; P2; 2022; Questão 5

Sejam V um espaço vetorial de dimensão 2 ,   B   e   C bases de V   e   A   ∈   M 2 ( R ) a

matriz tal que A [ v ] B   =   [ v ] C , para todo v   ∈   V . Suponha que

e sejam T   :   V   →   V   e   S   :   V   →   V as transformações lineares tais que

Temos que a soma das entradas na diagonal principal da matriz   [ S   ◦   T ] B C é igual a:

(a) − 16

(b) 36

(c) 4

(d) 14

(e) 6

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez queremos encontrar a transformação dada pelo composição [ S   ◦   T ] B C

E para isso, o enunciado nos diz que

e que A [ v ] B   =   [ v ] C , para todo v   ∈   V .

Vamos para a resolução!

Passo 2

A ideia é expressar como

[ S   ◦   T ] B C = [ S   ] C C   [ T ] B C

Ou seja, aplicamos T entre as bases B   e   C e depois aplicamos [ S ] C C .

Bem, temos que A [ v ] B   =   [ v ] C . Logo,

[ v ] B   =   A - 1 [ v ] C

Ou seja, temos [ A - 1 ] C B

Então, podemos fazer o seguinte,

[ S ] C C = [ S ] B C [ A - 1 ] C B

Dessa forma, como

Temos que

[ S ] C C = [ S ] B C [ A - 1 ] C B

Então podemos concluir que

[ S   ◦   T ] B C = [ S   ] C C   [ T ] B C

Logo, a soma das entradas da diagonal principal de [ S   ◦   T ] B C é - 16

Logo, a alternativa correta é a a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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