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Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

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Enunciado

USP Álgebra Linear 2 P2 2016

Seja 𝑇 : 𝑅 3 → 𝑅 3 um operador linear e denote por 𝐮   ∈ 𝑀 3 𝑅 a matriz que representa 𝑇   com respeito a base canĂŽnica de 𝑅 3 . Suponha que:

đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   đŒ   =   2,4 , 0

; đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 đŒ   =   0,1 , − 1

e   1,0 , 1   ∈ đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   + đŒ

Onde đŒ   Representa o operador identidade.EntĂŁo 𝐮   pode ser escrita como:

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocĂȘs? Vamos para mais uma questĂŁo de Algelin, dessa vez uma sobre diagonalização.

O enunciado quer que achamos outra forma de reescrever a matriz 𝐮   e para isso ele nos informa que:

đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   đŒ   =   2,4 , 0

; đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 đŒ   =   0,1 , − 1

e   1,0 , 1   ∈ đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   + đŒ

Ou seja ele nos dĂĄ de brinde os autovetores e autovalores de 𝐮   . Vamos usar isso para reescrever 𝐮   .

Passo 2

No passo anterior, falamos que o enunciado nos dĂĄ os autovetores e autovalores de 𝐮   . Mas vamos relembrar a definição deles.

Por definição, os autovalores são as raízes do polinÎmio característico. Esse polinÎmio é:

𝑝 𝑡   =   d e t d e t   𝐮   −   𝑡 đŒ  

E os autovetores, sĂŁo os vetores nos nĂșcleo de đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   𝑡 đŒ   , com 𝑡   autovalor.

Passo 3

Agora que temos maior conhecimento sobre as informaçÔes passadas no enunciado, como serĂĄ que podemos reescrever a matriz 𝐮   ? O que vocĂȘs acham?

Isso aĂ­, como temos os autovalores e os autovetores de 𝐮   podemos diagonalizar. Vamos refrescar nossa memĂłria.Uma matriz Ă© diagonalizĂĄvel se pode ser escrita da forma

𝐮   =   𝑃 đ· 𝑃 − 1

Com đ·   matriz diagonal contendo os autovalores e 𝑃   matriz onde suas colunas sĂŁo os autovetores associados a cada autovalor de đ·   em ordem.

Passo 4

Agora sĂł nos resta escrever 𝐮   da forma 𝑃 đ· 𝑃 − 1 . Mas antes disso, vamos olhar o autovetor 2,4 , 0 , o que tem de especial nele? A princĂ­pio nada, mas ele pode ser escrito como 2 ⋅ 1,2 , 0 . E mĂșltiplos de um autovetor tambĂ©m Ă© autovetor. EntĂŁo podemos substituir

đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   đŒ   =   2,4 , 0

por đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   đŒ   =   1,2 , 0

(os dois vetores estĂŁo no nĂșcleo)

EntĂŁo a matriz 𝐮   Ă©:

E com isso chegamos ao fim de mais uma questĂŁo de algelin 😊. Espero que os passos tenham ficado claros. AtĂ© a prĂłxima!!!

Resposta

c)

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