Seja P 1 o espaço dos polinômios de grau ≤ 1 . Sejam α = { 2,1 , - 1,1 } base de R 2 e β = { 1 + t , t } base de P 1 , e seja T : R 2 → P 1 uma transformação linear cuja matriz é dada por:

[ T ] β α = 1 2 0 - 1

Calcular a transformação linear T(x,y).

Passo 1

A questão deu pra gente:

E por fim uma matriz T que transforma vetores de R 2 na base α em polinômios de P 1 na base β a partir de:

[ T ] β α = 1 2 0 - 1

Passo 2

Vamos ver primeiro como escrevemos um vetor qualquer (x,y) do R 2 na base α .

Queremos encontrar as coordenadas a e b tais que:

a 2,1 + b - 1,1 = x , y

2 a - b , a + b = x , y

Ficamos com o sistema:

2 a - b = x a + b = y

Somando as duas equações:

3 a = x + y

Logo:

a = x + y 3

Substituindo em qualquer uma das equações, achamos o valor de b:

b = 2 y - x 3

Passo 3

Agora podemos aplicar a matriz T ao vetor (x,y) na base α e achar a transformação do vetor no polinômio de grau menor ou igual a 1.

Fazendo isso:

[ T ] β α [ x , y ] α = [ x , y ] β

T x , y β = 1 2 0 - 1 x + y 3 2 y - x 3

Agora, para escrever esse polinômio na base β , fazemos:

Arrumando os termos:

Resposta

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