UFES, Álgebra Linear, P1 Tarde, 2017.2 - Questão 2
A transformação linear leva em e em . Determine não nulo tal que . Essa transformação pode ser sobrejetora?
Passo 1
E aí, vamos lá pra mais uma?
Dessa vez, vamos falar sobre transformação linear (que é tipo uma função só que no mundo da álgebra linear hahaha)
Aqui temos uma transformação linear tal que
E aí queremos encontrar um vetor onde
Nesse exercício vai ser primordial que a gente lembre as propriedades de uma Transformação Linear:
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E também vamos reparar que os dois vetores que ele deu são linearmente dependentes. Podemos usar isso a nosso favor, olha:
Boa, agora sim, vamos lá!
Passo 2
Vamos lá, sabemos que
Ou seja:
Mas temos que e , então vamos substituir:
Como , podemos escrever:
Como , podemos escrever:
Ou sejaa, subtraindo os vetores temos que
Portanto, o vetor em que vai ser:
Passo 3
O exercício também pergunta se essa transformação linear pode ser sobrejetora
Sabemos que em uma transformação , se a dimensão de e de forem iguais (como é o nosso caso, já que estamos indo de para ), a transformação vai ser sobrejetora se, e somente se, ela for injetora
Até aqui beleza.
Para que seja injetora, o núcleo dela tem que ter apenas o vetor nulo . Resumindo, o único vetor tal que tem que ser apenas
Opa! Mas a gente acabou de ver no passo 2 que
Ou seja, a transformação não é injetora!!
E PORTANTO, também não é sobrejetora!!
E é isso hahaaha
Resposta
Não pode ser sobrejetora