Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

Ver Teoria
Exercício 812345679101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172

Enunciado

USP Álgebra Linear 2 P2 2016

Seja T : P 2 R → P 2 R o operador linear definido por:

T a   +   b t   +   c t 2   =   a   +   2 a   -   b t   +   b + c t 2

Para todos a , b , c   reais. Considere as base C   =   1 , t , t 2 de P 2 R e seja B   =   p 1 t , p 2 t , p 3 t

a base de P 2 R tal que:

Então p 1 t   +   p 2 t   +   p 3 t é igual á:

Passo 1

Fala pessoal tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é muito bacana, pois iremos trabalhar com matrizes de mudança de base.

Antes de mais nada, vamos bolar um plano para obter os polinômios p 1 t   ,   p 2 t   ,   p 3 t . Já que precisamos deles para calcular p 1 t   +   p 2 t   +   p 3 t Como vocês acham que podemos encontrá-los?

Como o enunciado nos diz quem é T B C , talvez possamos usar a relação entre matrizes e transformações lineares. Lembram dessa relação? Vamos revisar, é MUITO importante. Temos que:

T B C   =   T C I B C

Então:

T C - 1 T B C   =   I B C

Passo 2

Passo 3

Mas porque queremos usar a relação descrita no passo 1? Pois   I B C é a matriz de mudança de base, ou seja, as suas colunas serão os vetores da base de B   , que é o que precisamos obter.Dessa forma, só precisamos calcular T C . Como obtemos essa matriz?

As colunas dessa matriz serão os vetores de T   aplicados na base canônica e representados na base C  

Confuso né? Mas ficará mais claro quando fizermos as contas

T 1,0 , 0 C

=   T 1   +   0 t + 0 t 2   C

=   1   +   2 t C

Representando esse polinômio na base C  

= 1,2 , 0

T 0,1 , 0 C

=   T 0   +   1 t + 0 t 2   C

=     - 1 t   +   t 2 C

Representando esse polinômio na base C  

= 0 , - 1,1

E por fim,

T 0,0 , 1 C

=   T 0   +   0 t + 1 t 2   C

=       t 2 C

Representando esse polinômio na base C    

= 0,0 , 1

Então a matriz T c

é:

Passo 4

Pronto, agora podemos obter os polinômios p 1 t   ,   p 2 t   ,   p 3 t .Como comentamos no passo anterior, esses polinômios serão as COLUNAS da matriz I B C

que é dada por:

T C - 1 T B C   =   I B C

Vamos calcular essa matriz!!!!

Então

Pronto, agora temos os nossos polinômios p 1 t   ,   p 2 t   ,   p 3 t

Passo 5

Finalmente!!! Conseguimos obter os polinômios p 1 t   ,   p 2 t   ,   p 3 t . que são:

p 1 t   =   1   + 2 t   -   2 t 2

p 2 t   =   3 t 2

p 3 t   = - 1 - 4 t   + 4 t 2

Logo

p 1 t   +   p 2 t   +   p 3 t

=   - 2 t + 5 t 2

E com isso chegamos ao fim de mais uma questão de algelin 😊. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

- 2 t + 5 t 2

Exercícios de Livros Relacionados

Uma transformação linear T:R ²→R ² ² ² de posto 2 transforma toda reta numa reta. Prove isto.
De um exemplo de uma transformação linear T sobrejetiva e não injetiva. Prove que é sobrejetiva e não injetiva.
Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v