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Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

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Enunciado

USP Álgebra Linear 2 P2 2016

Considere as bases. đ›œ   =   1,1 , 1,0 , e đ¶   =   1 ,   𝑡   + 𝑡 2 ,   𝑡 2   , 𝑡 2   +   𝑡 3 , bases de 𝑅 2   e   𝑃 3 𝑅 ,respectivamente . Se 𝑇 :   𝑅 2 → 𝑃 3 𝑅 Ă© a transformação linear tal que:

𝑇 đ›œ đ¶

Ă©:

Então 𝑇 0,1

Ă©:

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza com vocĂȘs? Vamos para mais uma questĂŁo de Algelin, dessa vez estaremos trabalhando com matriz de mudança de base. Muito bacana, nĂ©? Nosso objetivo nessa questĂŁo Ă© descobrir quem Ă© a transformação linear 𝑇   que leva os vetores de đ›œ para um polinĂŽmio formado com os elementos da base de đ¶   . Vamos nessa!!

Passo 2

Como comentei no passo 1, essa é uma questão que envolve mudança de base. Existe um teorema que diz como podemos relacionar uma transformação linear entre dois espaços de dimensão finita quaisquer. Lembram dele? Vamos revisar!!!!

O Teorema diz o seguinte,

𝑇 𝑱 đ¶   = 𝑇 đ›œ đ¶ ⋅ 𝑱 đ›œ  

Ou seja nossa transformação fica:

𝑇 0,1 đ¶   = 𝑇 đ›œ đ¶ ⋅ 0,1 đ›œ  

JĂĄ temos 𝑇 đ›œ đ¶ , mas quem Ă© 0,1 đ›œ   ?

Passo 3

No passo anterior revisamos o teorema que diz como construir a matriz que representa a transformação linear entre dois espaços de dimensĂŁo finita. Mas observamos que era necessĂĄrio saber 0,1 đ›œ   , mas quem Ă© esse vetor?

Essa notação indica que estamos transformando o vetor 0,1 representado na base canĂŽnica para sua representação na base đ›œ . Como fazemos isso?

Pode parecer difĂ­cil, mas nĂŁo Ă©. SĂł precisamos escrever o vetor 0,1 como combinação linear dos elementos da base de đ›œ . Vamos fazer, que ficarĂĄ mais claro. Nosso objetivo entĂŁo Ă© encontrar 𝑎   e   𝑏

tais que:

0,1   =   𝑎 ⋅ 1,1   +   𝑏 1,0

Resolvendo obtemos

𝑎   =   1  

𝑏   =   − 1  

EntĂŁo nosso vetor 0,1 đ›œ  

serĂĄ:

0,1 đ›œ   =   𝑎 , 𝑏

Passo 4

Pronto, agora podemos calcular 𝑇 0,1 đ¶   = 𝑇 đ›œ đ¶ ⋅ 0,1 đ›œ  

𝑇 0,1 đ¶   = 𝑇 đ›œ đ¶ ⋅ 1 , − 1  

Na forma matricial fica:

Portanto, 𝑇 0,1 đ¶   = 3,1 , − 1   , − 3  

E para finalizarmos a questĂŁo, precisamos dessa transformação linear gerada por esse vetor. Como estamos na base đ¶   temos:

𝑇 0,1   = < 3,1 , − 1   , − 3 , 1 ,   𝑡   + 𝑡 2 ,   𝑡 2   , 𝑡 2   +   𝑡 3   >

(calculando o produto interno)

= 3 ⋅ 1   +     1 𝑡   + 𝑡 2   − 1   𝑡 2   − 3 𝑡 2   +   𝑡 3  

= 3   +     𝑡     − 3 𝑡 2   − 3 𝑡 3  

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questĂŁo. Espero que os passos tenham ficado claros. AtĂ© a prĂłxima questĂŁo e bons estudos!!!! 😊

Resposta

3   +     𝑡     − 3 𝑡 2   − 3 𝑡 3  

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