UFRJ; Provas Antigas; Álgebra Linear; P2 2022.1; Questão 11
Seja a transformação linear que satisfaz:
Determine a matriz tal que . A soma de todos os elementos da primeira coluna de vale:
- -2
- -1
- 0
- 1
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin!!! Essa é bacana, pois vamos utilizar as propriedades de uma transformação linear
Primeiro, temos que descobrir qual é a matriz , e depois calcular a soma dos elementos da sua primeira coluna. Bem, sabemos que é tal que:
E sabemos também que
Como vamos usar essas informações para obter ?
meme bat
Bem, ao invés de obtermos , podemos obter só a sua primeira coluna, mas como fazemos isso? Note que
Esse vetor será exatamente a primeira coluna de , então só precisamos calcular
.
Passo 2
No passo anterior, chegamos a conclusão que só precisamos obter , mas como fazemos isso? Vamos usar a linearidade da transformação linear. A propriedade é a seguinte:
Então vamos tentar escrever o vetor como combinação linear dos vetores e , pois sabemos calcular a transformação destes que são.
Então, temos que
Aplicando
Usando a linearidade
Substituindo
Como falamos no passo 1, essa é a primeira coluna de , então a soma das entradas da primeira coluna de é igual a
Prontinho, pessoal!! Finalizamos mais uma!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊