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Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

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Enunciado

UFES, Álgebra Linear, P1 Tarde, 2017.2 - Questão 4a

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas.

a) Se T : R n → R m é uma transformação linear e v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 é um conjunto linearmente dependente de R n , então T v 1 ,   T v 2 ,   T v 3 ,   T v 4 é um conjunto linearmente dependente em R m

Passo 1

Gente vamos lá que essa é de demonstração

Queremos verificar o seguinte: se tem uma transformação linear T que sai de R n e vai pra R m , caso v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 seja um conjunto LD, será que T v 1 ,   T v 2 ,   T v 3 ,   T v 4 também é?

Vamos lá verificar. Para isso, vamos lembrar que se v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 é um conjunto LD, então um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros:

v 1 = α v 2 + β v 3 + γ v 4

Então vamos partir disso ok??

Passo 2

Sabemos que existem α , β , γ ≠ 0 tais que

v 1 = α v 2 + β v 3 + γ v 4

Aplicando a transformação linear T dos dois lados, temos que

T v 1 = T α v 2 + β v 3 + γ v 4

Por propriedade de transformação linear, sabemos que T u + v = T u + T ( v ) , então

T v 1 = T α v 2 + T β v 3 + T ( γ v 4 )

E também por propriedade de TL, sabemos que T a x = a ∙ T ( x ) , onde a é uma constante. Então:

T v 1 = α ∙ T v 2 + β ∙ T v 3 + γ ∙ T ( v 4 )

Opa! Então uma transformação pode ser escrita como combinação linear das outras!!

Isso quer dizer que o conjunto T v 1 ,   T v 2 ,   T v 3 ,   T v 4 também é um conjunto LD, fechou?

Então a afirmação está correta 😉

Resposta

Correta.

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