Passo 1

Substituindo:

lim x → + ∞ ⁡ e 1 x arctg ⁡ x = e 1 ∞ arctg ⁡ ∞ = e 0 arctg ⁡ ∞

Aí, repara o seguinte: o arco cuja tangente vale é o ângulo de 90 ° , ou seja, π 2 . Com isso, basta que a gente substitua esse valor e mate o limite:

e 0 arctg ⁡ ∞ = 1 π 2 = 2 π

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ e 1 x arctg ⁡ x = 2 π

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