Calcule o limite

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ 2 x log 3 ⁡ ( x )

Passo 1

Usando a propriedade dos logaritmos que diz

log a ⁡ b = log c ⁡ b log c ⁡ a

Sendo:

b = x a = 3 c = e

Temos:

log 3 ⁡ ( x ) = ln ⁡ x ln ⁡ 3

Podemos transformar esse limite em

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ 2 x ln ⁡ 3 ln ⁡ x

Passo 2

Como

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ 2 x = 0

E

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x = - ∞

Então

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ 2 x l n ⁡ 3 l n ⁡ x = 0 - ∞ = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ 2 x log 3 ⁡ ( x ) = 0

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