Encontre o valor de a   para que o seguinte limite exista e calcule o seu valor:

  l i m x → − 2 ⁡ x 2 + 5 x + a x 2 + x − 2

Passo 1

Fala aí, beleza?? Vamos para mais uma questãozinha!

Bom galerinha, temos que encontrar o valor de a para que o limite da equação x 2 + 5 x + a x 2 + x − 2 exista quando o x se aproximar de − 2 .

Primeiro passo que iremos fazer é substituir o x =   − 2 normalmente e ver o que acontece, bora lá!!!

  l i m x → − 2 ⁡ x 2 + 5 x + a x 2 + x − 2

  = l i m x → − 2 ⁡ ( − 2 ) 2 + 5 ( − 2 ) + a − 2 2 + − 2 − 2

=   l i m x → − 2 ⁡ 4 − 10 + a 4 − 4

  = l i m x → − 2 ⁡ − 6 + a 0

Bom, aqui encontramos uma divisão por zero e sabemos que isso não existe né, então precisamos pensar em alguma estratégia para nos livrar desse zero no denominador da equação. E aí, como podemos fazer isso??

Passo 2

Pessoal podemos nos livrar desse denominador se o numerador em questão for um polinômio divisível pelo denominador, sendo assim matamos dois coelhos em uma cajadadas só.

Então bora fazer divisão de polinômios,

| x 2 + 5 x + a x 2 + x − 2 | = | 1 |

Como a divisão tem que ser exata, o menor valor para o quociente em módulo é 1. Sendo assim,

x 2 + 5 x + a =   x 2 + x − 2

a =   − 4 x − 2

Passo 3

Voltando para o nosso limite, caso a =   − 4 x − 2 :

  l i m x → − 2 ⁡ x 2 + 5 x + a x 2 + x − 2

  = l i m x → − 2 ⁡ x 2 + 5 x − 4 x − 2 x 2 + x − 2

  = l i m x → − 2 ⁡ x 2 + x − 2 x 2 + x − 2

  = l i m x → − 2 ⁡ 1

= 1

Portanto, agora o nosso limite existe!!!

Importante lembrar que o limite de uma constante sempre é a própria constante independente de para onde o x irá se aproximar. Tudo tranquilinho??? Show!

Bons Estudos 😊

Resposta

a =   − 4 x − 2

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