Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.

lim(h → 0) [(x + h)³ - x³] / h

Passo 1

Oiiiii gente, como está a semana de vocês?

Bora levantar o astral e resolver esse probleminha?

Então, a nossa questão deseja que calculemos o limite da expressão ( x + h ) ³   -   x ³ h , quando h tender a 0 .

Bom, o que vocês sugerem que façamos primeiro??

Passo 2

O primeiro passo é tentar resolver o limite normalmente apenas substituindo os valores na equação. Assim,

l i m h → 0 ( x + h ) ³   -   x ³   h   =   ( x   +   0 ) ³   -   x ³ 0   =   0 0

Opa, obtemos uma indeterminação 0 0 , e agora??

Bom, normalmente para se livrar dessa indeterminação é necessário uma estratégia. Iremos manipular a equação de modo que se obtenha uma expressão mais simplificada…

Passo 3

Assim desenvolvendo o produto notável do numerador, temos:

( x + h ) ³   -   x ³ h   = x ³   +   3 x ² h   +   3 x h ²   +   h ³   - x ³ h  

=   3 x ² h   +   3 x h ²   +   h ³ h =   3 x ² + 3 x h + h ²

Olha que maravilha, realmente conseguimos simplificar a expressão e eliminar os termos que estavam zerando nossa equação. Agora, basta calcular o limite para essa nova expressão encontrada.

Passo 4

Assim, o limite agora da expressão será:

l i m h → 0 ( x + h ) ³   -   x ³ h = l i m h → 0 3 x ² + 3 x h + h ²  

= l i m h → 0 3 x ² + 3 x ( 0 )   + 0 ²   =   3 x ²  

Lembrando que l i m x → a k   =   k , sendo k uma constante.

E aí? Essa resolução te ajudou?? Responde Aí

Bora fazer mais algumas então!!

Abraços :)

Resposta

l i m h → 0 ( x + h ) ³   -   x ³ h   =   3 x ²

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