Calcule os seguintes limites.Justifique suas respostas.

lim(x → raiz(2)) (x^4 - 4) / (x - raiz(2))

Passo 1

Oiiii xuxus! Tudo bem?

Essa questão é bem interessante! Bora resolver juntinhos?

Bom, a questão quer que calculemos o seguinte limite l i m x → 2 x 4 - 4 x - 2 , e em seguida justifique o resultado encontrado. Let’s go!

Passo 2

Primeira coisa que devemos fazer quando estamos resolvendo uma questão de limites é substituir o valor para o qual meu x   tende na equação.

Ao fazer isso, nos deparamos com:

l i m x → 2 x 4 - 4 x - 2 = ( 2   ) 4   -   4 2   -   2 = 0 0

Assim, chegamos em uma indeterminação matemática, logo é necessário algum artifício para desfazer essa indeterminação.

Passo 3

Para escapar da indeterminação encontrada no passo anterior, vamos reparar que a gente tem polinômios no numerador e polinômios no denominador. Então uma coisa boa de você saber é que fatorar os polinômios muitas vezes vai nos ajudar!

Vamos então fatorar a nossa equação. Como em produtos notáveis estudamos que

( a ²   -   b ² )   =   ( a + b ) ( a - b )

Utilizaremos essa mesma ideia para conseguir simplificar a nossa expressão, portanto, o numerador da minha equação ficará da seguinte forma:

x 4 - 4   =   ( ( x ² ) ²   -   2 ² )   =   ( x ² - 2 ) ( x ² + 2 )

Entretanto, como aparece uma 2 em nosso denominador, significa que devemos simplificar a expressão acima mais ainda. Assim,

( x ²   -   2 ) ( x ² + 2 )   =   ( x   -   2 ) ( x   +   2 ) ( x ²   + 2 )

Agora sim encontramos o valor que nos interessava. Como apareceu um termo ( x   -   2 ) no numerador, podemos cancelar ele no denominador. Desse modo,

l i m x → 2   ( x   -   2 ) ( x   +   2 ) ( x ²   + 2 ) ( x - 2 )

Poderemos agora cancelar os fatores em comum.

l i m x → 2 ( x   + 2   ) ( x ² + 2 )

Passo 4

Hello! Como nos livramos da indeterminação, agora basta substituir o x em questão por 2 .

l i m x → 2 ( x   + 2   ) ( x ² + 2 )

=   (   2 + 2   ) ( ( 2 ) ² + 2 )

=   (   2 2   ) ( 4 )   =   8 2

Lembrando que existe uma propriedade que fala que o limite de uma constante é sempre a própria constante.

E aí? Essa resolução te ajudou? Show!

Bons Estudos! :)

Resposta

  8 2

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