Considere funções com limitada. Assinale a afirmação incorreta
- Se , para todo e , então
- Se , então
- Se , então
- Se , então
- Se , então
Passo 1
Vamos tentar provar um de cada vez, ok? Começando pela letra , nota o seguinte, se então a função vai sempre estar abaixo do eixo . Na prática, quando fazemos:
Estamos achando números cada vez mais próximos de porém sempre negativos! Por exemplo . A gente pode escrever esse limite dessa forma pra denotar isso:
Das propriedades dos limites, podemos tirar:
E olha só! O limte de cima, existente, vai ser sempre positivo pra qualquer que se tome! Até porque, o módulo tá ali responsável por se livrar de valores negativos. Seja então:
Ficamos com:
Passo 2
Pra letra , podemos usar a mesma propriedade dos limites que usamos na e fazer
Tendo que existe:
O resultado da letra é:
Correta também!
Passo 3
Nessas próximas duas letras vamos usar uma outra propriedade dos limites: a aditiva. Seja:
Considerando a existência desse limite:
O resultado da letra será:
E na próxima letra a gente precisa usar a propriedade aditiva e multiplicativa ao mesmo tempo. Saca só
Se existe:
O resultado da letra é:
Por eliminação a letra é a errada, mas vamos ver o porque disso também
Passo 4
A última letra diz que se , então . Isso não é verdade porque, por exemplo, se , vamos ter:
O que é dá numa indeterminação! Um bom contra-exemplo é o limite fundamental trigonométrico. Supondo: