Calcule, se possível, os limites indicados:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 7 - x 4 + 2 x 2 - x + 1 5 x 7 - 3 x 4 - x + 3

  1. 1
  2. 3 / 5
  3. - 5 / 3
  4. Não existe

Passo 1

Fala aí, galerinha! Olhando o nosso limite:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 7 - x 4 + 2 x 2 - x + 1 5 x 7 - 3 x 4 - x + 3

Como temos um polinômio no numerador e outro no denominador, então vamos colocar o valor mais alto de x elevado ao expoente mais alto em evidência no numerador e no denominador:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 7 - x 4 + 2 x 2 - x + 1 5 x 7 - 3 x 4 - x + 3 = lim x → + ∞ ⁡ x 7 ⋅ 3 x 7 x 7 - x 4 x 7 + 2 x 2 x 7 - x x 7 + 1 x 7 x 7 ⋅ 5 x 7 x 7 - 3 x 4 x 7 - x x 7 + 3 x 7

Podemos simplificar essa expressão, primeiro cortando os elementos que estão em evidência no numerador e no denominador:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 7 - x 4 + 2 x 2 - x + 1 5 x 7 - 3 x 4 - x + 3 = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 7 x 7 - x 4 x 7 + 2 x 2 x 7 - x x 7 + 1 x 7 5 x 7 x 7 - 3 x 4 x 7 - x x 7 + 3 x 7

Agora vamos simplificar as frações presentes no numerador e no denominador:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 7 - x 4 + 2 x 2 - x + 1 5 x 7 - 3 x 4 - x + 3 = lim x → + ∞ ⁡ 3 - 1 x 3 + 2 x 5 - 1 x 6 + 1 x 7 5 - 3 x 3 - 1 x 6 + 3 x 7

Aplicando o limite dentro das frações do numerador e do denominador:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 7 - x 4 + 2 x 2 - x + 1 5 x 7 - 3 x 4 - x + 3 = l i m x → + ∞ 3 - l i m x → + ∞ 1 x 3 + l i m x → + ∞ 2 x 5 - l i m x → + ∞ 1 x 6 + l i m x → + ∞ 1 x 7 l i m x → + ∞ 5 - l i m x → + ∞ 3 x 3 - l i m x → + ∞ 1 x 6 + l i m x → + ∞ 3 x 7

Passo 2

Sabemos que o limite de uma constante é o próprio valor da constante:

l i m x → + ∞ 3 = 3

l i m x → + ∞ 5 = 5

Enquanto o limite de uma expressão que tem apenas x no denominador é igual a zero:

l i m x → + ∞ 1 x 3 = 1 ∞ 3 = 0

Então nossa expressão do limite é igual a:

l i m x → + ∞ 3 - l i m x → + ∞ 1 x 3 + l i m x → + ∞ 2 x 5 - l i m x → + ∞ 1 x 6 + l i m x → + ∞ 1 x 7 l i m x → + ∞ 5 - l i m x → + ∞ 3 x 3 - l i m x → + ∞ 1 x 6 + l i m x → + ∞ 3 x 7 = 3 - 0 + 0 - 0 + 0 5 - 0 - 0 + 0 = 3 5

Então nosso limite inicial é igual a:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 7 - x 4 + 2 x 2 - x + 1 5 x 7 - 3 x 4 - x + 3 = 3 5

Logo chegamos a resposta da letra “c”!

Resposta

c )           3 / 5

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