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Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites e suas Propriedades

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Enunciado

[UFES] Cálculo 1 – Prova 1 – 2020.2 – Questão 5

Calcule, se possível, os limites indicados:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 7 - x 4 + 2 x 2 - x + 1 5 x 7 - 3 x 4 - x + 3

  1. ∞

  2. 1

  3. 3 / 5

  4. - 5 / 3

  5. Não existe

Passo 1

Fala aí, galerinha! Olhando o nosso limite:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 7 - x 4 + 2 x 2 - x + 1 5 x 7 - 3 x 4 - x + 3

Como temos um polinômio no numerador e outro no denominador, então vamos colocar o valor mais alto de x elevado ao expoente mais alto em evidência no numerador e no denominador:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 7 - x 4 + 2 x 2 - x + 1 5 x 7 - 3 x 4 - x + 3 = lim x → + ∞ ⁡ x 7 ⋅ 3 x 7 x 7 - x 4 x 7 + 2 x 2 x 7 - x x 7 + 1 x 7 x 7 ⋅ 5 x 7 x 7 - 3 x 4 x 7 - x x 7 + 3 x 7

Podemos simplificar essa expressão, primeiro cortando os elementos que estão em evidência no numerador e no denominador:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 7 - x 4 + 2 x 2 - x + 1 5 x 7 - 3 x 4 - x + 3 = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 7 x 7 - x 4 x 7 + 2 x 2 x 7 - x x 7 + 1 x 7 5 x 7 x 7 - 3 x 4 x 7 - x x 7 + 3 x 7

Agora vamos simplificar as frações presentes no numerador e no denominador:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 7 - x 4 + 2 x 2 - x + 1 5 x 7 - 3 x 4 - x + 3 = lim x → + ∞ ⁡ 3 - 1 x 3 + 2 x 5 - 1 x 6 + 1 x 7 5 - 3 x 3 - 1 x 6 + 3 x 7

Aplicando o limite dentro das frações do numerador e do denominador:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 7 - x 4 + 2 x 2 - x + 1 5 x 7 - 3 x 4 - x + 3 = l i m x → + ∞ 3 - l i m x → + ∞ 1 x 3 + l i m x → + ∞ 2 x 5 - l i m x → + ∞ 1 x 6 + l i m x → + ∞ 1 x 7 l i m x → + ∞ 5 - l i m x → + ∞ 3 x 3 - l i m x → + ∞ 1 x 6 + l i m x → + ∞ 3 x 7

Passo 2

Sabemos que o limite de uma constante é o próprio valor da constante:

l i m x → + ∞ 3 = 3

l i m x → + ∞ 5 = 5

Enquanto o limite de uma expressão que tem apenas x no denominador é igual a zero:

l i m x → + ∞ 1 x 3 = 1 ∞ 3 = 0

Então nossa expressão do limite é igual a:

l i m x → + ∞ 3 - l i m x → + ∞ 1 x 3 + l i m x → + ∞ 2 x 5 - l i m x → + ∞ 1 x 6 + l i m x → + ∞ 1 x 7 l i m x → + ∞ 5 - l i m x → + ∞ 3 x 3 - l i m x → + ∞ 1 x 6 + l i m x → + ∞ 3 x 7 = 3 - 0 + 0 - 0 + 0 5 - 0 - 0 + 0 = 3 5

Então nosso limite inicial é igual a:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 7 - x 4 + 2 x 2 - x + 1 5 x 7 - 3 x 4 - x + 3 = 3 5

Logo chegamos a resposta da letra “c”!

Resposta

c )           3 / 5

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.