Dada . Suponhamos que . Então:
- é decrescente
- , temos se
- Nenhuma das respostas acima é correta
Passo 1
Vamos analisar cada uma das alternativas. A letra afirma que a função é decrescente. Tudo que sabemos é que
Não há nada que impeça que a função para seja crescente, pelo menos em parte dela.
Pra função toda ser decrescente, pra todo teremos um . Dá uma olhada nessa função aqui:
Observe o esboço do seu gráfico:
É possível ver que para , a função é crescente. No entanto, se tomarmos o limite dessa função com tendendo a , teremos:
Ou seja, acabamos de dar um exemplo de uma função que não é totalmente decrescente e que o limite dá menos infinito.
Essa opção então ó, já era, incorreta!
Passo 2
A letra afirma que
Vamos usar um exemplo de uma função aqui, para ver se isso está certo.
Se tomarmos o limite dessa função para , teremos:
Agora, vamos substituir o da função por
Tomando o limite, teremos:
O gráfico de é assim
Olha só! Olhando pro gráfico dá pra ver que , portanto podemos concluir que a letra é falsa.
Passo 3
A letra diz que sempre que for maior que um número positivo ou igual a zero, a função será negativa ou igual a zero. Usando novamente como exemplo a função
nós já vimos que, pra essa função, é verdade que
Entretanto, veja que no intervalo a função é positiva! Logo, a afirmação de que , temos se cai por terra. Por exemplo, se usarmos , que é maior do que , teremos
Podemos fazer ainda a mesma análisa usando a função:
Função que já vimos que o limite com tendendo a vai resultar em .
Se usarmos um por exemplo, ela resultará em:
Que é um valor positivo, diferente do esperado que era um valor negativo ou zero.
Finalmente, podemos dizer que a letra é falsa.
Passo 4
A alternativa afirma que
Entretanto, no enunciado não foi dada nenhuma informação sobre como a função se comporta para .
Por exemplo, a função que foi usada e esboçada no Passo 2,
tem os limite para e ambos tendendo a .
Logo, a letra está incorreta.
Passo 5
Se nenhuma das respostas analisadas estava correta, só restou a letra como resposta.
Resposta
e. Nenhuma das respostas acima é correta