Considere a função f : R → R , dada por f(x) = x^2 + 1 , e os números a = 3 , L = 10 . Para cada intervalo aberto J abaixo, encontre um intervalo aberto I , centrado em a , com a seguinte propriedade:

x ∈ I e x ≠ a ⇒ f(x) ∈ J

  1. J = (9, 9; 10, 1)

Passo 1

Opaa!! Seguinte, primeiramente vamos dar uma olhadinha no gráfico da função dada pela questão:

Assim, desejamos descobrir qual o intervalo de valores de x pertencentes a I centrados em 3 que farão com que f ( x ) esteja sempre contido no intervalo J , centrado em 10 .

Passo 2

Dessa forma, vamos substituir os valores dos limites de J em f ( x ) para determinarmos os limites do intervalo em x .

Assim, o nosso intervalo de J é ( 9 , 9   ;   10 , 1 ) . Ou seja, para f x = 9 , 9 :

x 2 + 1 = 9 , 9 ∴ x ≈ 2,9 8

E, para f x = 10 , 1 :

x 2 + 1 = 10 , 1 ∴ x ≈ 3 , 02

Logo, temos o intervalo I = ( 2,9 8   ; 3,0 2 ) .

Legal essa né? Vamo que vamo!!

Resposta

I = ( 2,98   ; 3,02 )

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