07) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 1 ⁡ x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1

Passo 1

Oii gente, tudo certinho com vocês?

Como queremos o limite dessa função quando x → 1 precisamos iniciar fazendo x = 1 dentro da expressão. Daí vem que:

lim x → 1 ⁡ x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1 = 0 0

Nossa, que surpresa. Outra indeterminação matemática ☹

Passo 2

Como o limite nesse caso é o quociente de dois polinômios, nos quais x = 1 é raiz, podemos tentar fatorar esses polinômios:

x 100 - 2 x + 1 = ( x - 1 ) ( x 99 + x 98 + x 97 + … + x 3 + x 2 + x - 1 )

x 50 - 2 x + 1 = ( x - 1 ) ( x 49 + x 48 + x 47 + … + x 2 + x - 1 )

Fazendo o quociente, podemos cancelar o termo que causa a indeterminação 😊

x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1 = x 99 + x 98 + x 97 + … + x 3 + x 2 + x - 1 x 49 + x 48 + x 47 + … + x 2 + x - 1

Passo 3

Agora que removemos a indeterminação matemática, podemos aplicar o limite:

lim x → 1 ⁡ x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1 = lim x → 1 ⁡ x 99 + x 98 + x 97 + … + x 3 + x 2 + x - 1 x 49 + x 48 + x 47 + … + x 2 + x - 1

Fazendo x = 1 , vamos ter:

lim x → 1 ⁡ x 99 + x 98 + x 97 + … + x 3 + x 2 + x - 1 x 49 + x 48 + x 47 + … + x 2 + x - 1 = 99 - 1 49 - 1 = 49 24

Prontinho 😊

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1 = 49 24

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