Considere funções com limitada. Assinale a afirmação incorreta
- Se , para todo e , então
- Se , então
- Se , então
- Se , então
- Se , então
Passo 1
Pra gente achar a incorreta não tem jeito, é tentar provar um a um e marcar a que não conseguir. Começando pela letra , nota o seguinte, se então a função ta sempre abaixo do eixo . Oras, então se fizermos:
Na verdade estamos achando números cada vez mais próximos de porém sempre negativos! Por exemplo . A gente pode escrever esse limite dessa forma pra denotar isso:
Agora, saca só o numerador do outro limite: . Das propriedades dos limites:
E olha só! O limte de cima, existente, vai ser sempre positivo pra qualquer que se escolha! Afinal, o módulo tá ali responsável por se livrar de valores negativos. Seja então:
Ficamos com:
Ta provado! Próxima!
Passo 2
Agora nesse passo vamos precisar usar a mesma propriedade dos limites, porque seja:
Se existe
O resultado da letra é:
Correta também!
Passo 3
Vambora que os limites não se calculam sozinhos! Nessas próximas duas letras vamos usar uma propriedade diferente dos limites: a aditiva. Seja:
Se existe:
O resultado da letra é:
Então ta provado também essa letra, e a próxima a gente usa a propriedade aditiva e multiplicativa ao mesmo tempo:
Se existe:
O resultado da letra é:
Por eliminação a letra é a errada, mas vamos ver o porque disso também
Passo 4
A última letra diz que se , então . Isso não é verdade porque se , o limite fica:
O que é uma indeterminação! Um bom contra-exemplo é o limite fundamental trigonométrico. Supondo: