05) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 0 ⁡ 1 + x 5 - 1 + 5 x x 5 + x 2

Passo 1

Fala pessoal, bora detonar mais um limite!

Como sempre, o passo inicial é substituir x   dentro do limite pelo valor que ele está tendendo. Nesse caso, x = 0 . Daí, encontramos 0 0 , que é uma indeterminação matemática.

Passo 2

Precisamos retirar a indeterminação do denominador, mas não temos muitas opções para fazer isso. Então, vamos usar o binômio de Newton para conseguir escrever melhor esse numerador:

1 + x 5 = 1 + 5 x + 10 x 2 + 10 x 3 + 5 x 4 + x 5

⇒ 1 + x 5 - 1 + 5 x = 10 x 2 + 10 x 3 + 5 x 4 + x 5

Agora, como x → 0 , queremos colocar x em evidência, mas de uma forma que os termos que dependam de x sejam diretamente proporcionais. Basicamente, temos que procurar o menor grau de x para colocar em evidência. Daí fica:

1 + x 5 - 1 + 5 x x 5 + x 2 = 10 x 2 + 10 x 3 + 5 x 4 + x 5 x 5 + x 2 = x 2 10 +   10 x + 5 x 2 + x 3 x 2 x 3 + 1

Cancelando o x 2 comum ao numerador e denominador, temos que:

1 + x 5 - 1 + 5 x x 5 + x 2 =   10 +   10 x + 5 x 2 + x 3 x 3 + 1  

Passo 3

Agora podemos substituir essa expressão dentro do nosso limite:

lim x → 0 ⁡ 1 + x 5 - 1 + 5 x x 5 + x 2 = lim x → 0 ⁡ 10 +   10 x + 5 x 2 + x 3 x 3 + 1 = 10

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 + x 5 - 1 + 5 x x 5 + x 2 = 10

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