Calcule

lim x → 0 ⁡ x - tan ⁡ x x + tan ⁡ x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ x - tan ⁡ x x + tan ⁡ x

Perceba que somente fazendo x → 0 é impossível descobrirmos o resultado pois teremos uma indeterminação do tipo 0 0 .

Assim, por conta desse tipo de indeterminação, uma forma de calcularmos é aplicando a regra de L’Hopital.

Tal regra diz que para duas funções deriváveis f x e g x , temos:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f ' x g ' x

Agora vamos substituir e desenvolver nosso cálculo!!

😉

Passo 2

Assim, substituindo no limite, temos:

lim x → 0 ⁡ x - tan ⁡ x ' x + tan ⁡ x '

Calculando a derivada do numerador:

x - tan ⁡ x ' = d d x x - d d x tan ⁡ x ∴

x - tan ⁡ x ' = 1 - sec 2 ⁡ x

Sabemos que sec 2 ⁡ x = 1 + tan 2 ⁡ x , logo:

x - tan ⁡ x ' = - tan 2 ⁡ x

Agora, derivando o denominador, temos:

x + tan ⁡ x ' = d d x x + d d x tan ⁡ x ∴

x + tan ⁡ x ' = 1 + sec 2 ⁡ x

Passo 3

Assim, substituindo no limite, temos:

lim x → 0 ⁡ - tan 2 ⁡ x 1 + sec 2 ⁡ x

Aplicando o limite:

- tan 2 ⁡ 0 1 + sec 2 ⁡ 0 ∴

= 0 1 ∴

= 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 0 ⁡ x - tan ⁡ x x + tan ⁡ x = 0

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