i) Sem utilizar a regra de L’Hospital calcule os seguintes limites

lim x → 1 - ⁡ x - 1 2 e 1 x - 1

Passo 1

A primeiríssima coisa, sem falta, que a gente tem que fazer quando vemos um limite é substituir pra ver o que acontece, beleza? Vamos lá então:

1 - 1 2 e 1 1 - 1 = 0 2   e 1 0

Opa, surgiu uma indeterminação ali em! Quando isso acontece não dá pra assumir de cara que a resposta vai ser zero, apesar de ter um zero multiplicando essa indeterminação. E agora? Bem, se lembrarmos dessa propriedade do limite:

lim x → 1 - ⁡ x - 1 2 e 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ x - 1 2 ∙ lim x → 1 - ⁡ e 1 x - 1

Vai ficar mais fácil pra gente analisar, quer ver?

Passo 2

Calculando os limites separadamente

O primeiro limite que a gente vai calcular é:

lim x → 1 - ⁡ x - 1 2

E ó, não tem mistério! Se a gente substituir:

1 - 1 2 = 0 2 = 0

Agora, o segundo limite, vai ser:

lim x → 1 - ⁡ e 1 x - 1

Como e é um número, a gente pode reescrever esse limite dessa forma esperta aqui:

lim x → 1 - ⁡ e 1 x - 1 = e lim x → 1 - ⁡ 1 x - 1

O limite ali em cima então, a gente calcula:

lim x → 1 - ⁡ 1 x - 1 = 1 0 - = - ∞

Opa, isso quer dizer então que:

lim x → 1 - ⁡ e 1 x - 1 = e - ∞ = 1 e + ∞ = 0

Os dois limites deram zero! Então de fato, como:

lim x → 1 - ⁡ x - 1 2 e 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ x - 1 2 ∙ lim x → 1 - ⁡ e 1 x - 1

lim x → 1 - ⁡ x - 1 2 = 0

lim x → 1 - ⁡ e 1 x - 1 = 0

Vamos ter que:

lim x → 1 - ⁡ x - 1 2 e 1 x - 1 = 0

Resposta

lim x → 1 - ⁡ x - 1 2 e 1 x - 1 = 0

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