Considere a função f :   R → R , dada por f x = x 2 + 1 , e os números a = 3 , L = 10 . Para cada intervalo aberto J abaixo, encontre um intervalo aberto I , centrado em a , com a seguinte propriedade:

x ∈ I   e   x ≠ a ⇒ f x   ∈   J

  1. J = ( 7 ,   13 )

Passo 1

Opaa!!

Seguinte, primeiramente vamos dar uma olhadinha no gráfico da função dada pela questão. E repara que I é um intervalinho do nosso domínio, então aparece ali no nosso eixo x . E J é um intervalo na nossa imagem, então ele tá aparecendo ali no nosso eixo y .

Assim, desejamos descobrir qual o intervalo de valores de x pertencentes a I centrados em 3 que farão com que f ( x ) esteja sempre contido no intervalo J , centrado em 10 .

Passo 2

Dessa forma, vamos substituir os valores dos extremos de J em f ( x ) para determinarmos os limites do intervalo em x .

Assim, o nosso intervalo de J é ( 7 ,   13 ) . Ou seja, para f x = 7 :

x 2 + 1 = 7

x ≈ 2,45

E, para f x = 13 :

x 2 + 1 = 13

x ≈ 3,46

Logo, temos o intervalo I = ( 2,45   ; 3,46 ) .

Legal essa né? Vamo que vamo!!

Resposta

I = ( 2,45   ; 3,46 )

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