No instante de tempo um objeto esférico de massa e raio , gira deslizando com velocidade angular e velocidade do centro de massa nula em uma superfície horizontal com coeficiente de atrito cinético (veja a figura). Considere como ponto de contato do objeto com a superfície a origem do sistema de coordenadas. Utilize para a aceleração da gravidade.

a) Faça um diagrama de corpo livre do objeto.

b) Escreva as equações de Newton que descrevem o movimento.

c) Determine, enquanto o objeto rola deslizando, aceleração do seu centro de massa e sua aceleração angular .

d) Escreva as expressões em função do tempo para a velocidade do centro de massa e para a velocidade angular 𝜔(𝑡) do objeto enquanto ele rola deslizando.

e) Sabendo que no tempo o objeto esférico passa a rolar sem deslizar, ache a razão entre suas energias cinéticas de translação e rotação.

b)

Agora ele pediu as equações de Newton do movimento. Bem, temos uma mistura de uma translação com uma rotação. Vamos começar analisando a translação, beleza?

A translação é toda no eixo : a aceleração do objeto no eixo é nula. E pela 2ª lei de Newton,

Ou seja,

Portanto, o somatório das forças atuando no eixo , que são o peso e a normal, dá zero:

Show, agora vamos ver no eixo . Só temos a força de atrito atuando:

Então pela 2ª lei de Newton:

sendo o vetor aceleração do centro de massa do objeto.

Usando os módulos, também podemos escrever

Faltou só a rotação! O eixo de rotação é o centro da esfera, onde fica seu centro de massa. Repare que a única força realizando torque em relação a esse eixo é a força de atrito.

Portanto, o torque resultante em relação ao eixo passando pelo centro da esfera é igual ao torque realizado pela força de atrito:

E é dado por:

o vetor sendo o vetor posição do ponto de aplicação da força de atrito em relação ao centro da esfera.

Pela figura abaixo, podemos ver que :

Ou seja,

E pela versão pra rotação da 2ª lei de Newton, sabemos que

Portanto, obtemos disso tudo que

O que, em módulo, fica:

Obs: Nem precisamos calcular o momento de inércia, ele só pediu pra montar as equações!

Recapitulando, usando as equações com os módulos, obtivemos:

c)

Agora queremos achar a aceleração do centro de massa e a aceleração angular .

Essa foi a que eu chamei simplesmente de no item anterior. E a gente achou

Ou seja, dá no mesmo dizer que

E o módulo da força de atrito a gente sabe calcular!

Vimos no item anterior que . Ou seja,

E a força de atrito aponta no sentido positivo do eixo , então

Agora ficou fácil!

Vamos partir pra aceleração angular! Na letra (b) vimos que

Depois também achamos

Ou seja,

Você pode até saber o momento de inércia de uma esfera, mas de qualquer maneira o enunciado dá:

Portanto,

Então a equação de cima fica

Mas a gente quer o vetor . Vimos lá atrás que . Isso significa que tem o mesmo sentido do vetor .

Logo,

d)

Acabamos de achar que

Isso significa que a aceleração do centro de massa é constante, então a esfera está seguindo um MRUV, cuja equação pra velocidade é:

ou seja:

O enunciado diz que a velocidade inicial do centro de massa é nula, portanto:

Usando o mesmo raciocínio pra rotação, temos que a aceleração angular é constante:

E a equação o movimento circular uniformemente variado é:

Mas atenção! O sentido positivo da rotação é anti-horário e está no sentido horário! Então pra equação ser de uma rotação no sentido anti-horário, temos que inverter o sinal de , ok? Então vai ficar:

e)

Vejamos, ele disse que a esfera passou a rolar sem deslizar. Isso significa que o ponto de contato da esfera com o chão passa a ter velocidade nula. Ou seja, o atrito cinético vira um atrito estático, então a aceleração do CM vai ser alterada!

E ele pede a razão das energias cinéticas de translação e rotação exatamente no momento em que a esfera passa a rolar sem deslizar. Mas essa mudança é instantânea, no momento as equações do movimento que achamos na letra (d) ainda estão valendo!

Acho que esse lance da esfera passar a rolar sem deslizar era uma tentativa de pegadinha do enunciado (que, diga-se de passagem, é meio confuso).

Enfim, não vamos nos preocupar com isso e podemos usar na maior tranquilidade os valores:

A energia cinética de translação é:

E a energia cinética de rotação é:

Vou deixar assim pra poder cortar esse com o do .

Show, estamos quase acabando! A razão das energias cinéticas é:

Vai dar pra cortar um monte de coisa, saca:

Então sobrou: