Um objeto é composto por uma haste de massa desprezível e comprimento ligada ao centro de três discos de massa e raio como ilustra a figura. Este objeto está no plano vertical pode girar livremente em torno do eixo . No instante indicado na figura, a haste encontra-se inclinada de em relação ao eixo . O objeto está em equilíbrio estático, devido à força que tem direção perpendicular à haste. Despreze atritos. A aceleração da gravidade é .

a) Calcule o torque produzido pela força e o torque produzido pela força da gravidade em termos dos dados do enunciado acima.

b) Suponha agora que , e . Em a força desaparece e o torque resultante é dado por . Calcule o módulo da aceleração angular para este instante e também para quando o objeto passar pela posição vertical.

Agora vai complicar um pouco, mas também nada de mais.

Queremos o torque realizado pela força da gravidade, e essa age no centro de massa CM do objeto, que fica bem no meio da haste.

E essa haste tem massa desprezível, então a massa total do objeto, concentrada no CM, é a soma das massas dos 3 discos, ou seja .

Então o torque realizado pela força da gravidade é:

Agora vamos ter que aplicar uma trigonometria pra achar esse ! Lembrando que ele é o vetor posição do ponto de aplicação da força em relação ao eixo de rotação. No caso, é o vetor posição do CM em relação à origem.

Já sabemos que o módulo de é :

Mas o não tá na direção dos eixos e , então vai ser melhor decompor ele em e , o que dá:

Temos

Repare que o braço da alavanca é a componente , a é paralela à força da gravidade , então ela não contribui à realização de torque. Então poderíamos usar como .

Enfim, se isso não te convenceu, ou se a gente só quiser verificar isso mesmo, podemos usar o todo mesmo:

E antes a gente viu que

Logo,

O produto vetorial é distributivo, e , então isso dá:

Mas então podemos cortar essa parte da direita! Que nem a gente previu antes! :)

Enfim, isso deu:

E então:

b)

A fórmula que relaciona torque resultante e aceleração angular é:

E ele disse que, no momento , o torque resultante é:

então basta a gente calcular o momento de inércia do objeto pra poder achar a aceleração angular em !

O objeto é composto por 3 discos de massa e raio e por uma haste, que por ter massa desprezível não contribui pro momento de inércia do objeto.

Então o momento de inércia do objeto é a soma dos momentos de inércia dos 3 discos! Separando eles em disco da esquerda, do meio e da direita, fica:

Isso em relação ao eixo de rotação, que é o eixo .

E o momento de inércia de cada disco em relação ao eixo passando pelo seu CM é

Então vamos achar o momento de inércia de cada disco! :D

No caso do disco mais à esquerda, o CM fica em cima do eixo de rotação, então seu momento de inércia em relação ao eixo é

Vamos pro disco do meio!

Vimos que o momento de inércia dele em relação ao eixo passando pelo seu CM é:

Mas a gente quer o momento de inércia em relação ao eixo , que está a uma distância do CM!

Então, aplicando o teorema dos eixos paralelos, temos:

Show, agora só falta o disco da direita!

A lógica é a mesma que pro disco do meio, a diferença é que a distância entre o eixo que passa pelo CM do disco e o eixo agora é .

Ou seja,

Ótimo! Então juntando tudo, obtemos:

Substituindo e , fica:

E isso tudo era pra gente jogar o valor do momento de inércia na fórmula:

Lembrando que ele deu , então:

Show, mas essa aceleração angular que a gente achou é no momento , que foi quando o torque resultante valia . E ele também pediu a aceleração angular quando o objeto passar pela posição vertical.

A única força atuando no objeto é a força da gravidade . Então o torque resultante é:

E novamente temos

Vamos dar uma olhada no que acontece quando o objeto está na vertical:

Os vetores e são paralelos, então o produto vetorial deles é nulo!

Portanto,

E como , a aceleração angular é nula: