13. Considere um objeto sujeito a uma força F dada por F = 2 y , - x . Calcule o trabalho dessa força do ponto r = 0,0 até o ponto r = 1,1 nos seguintes caminhos:

d) y = 2 x 2 - x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão queremos obter o trabalho de uma força vetorial F = 2 y , - x para levar um objeto de r = 0,0 para r = 1,1 através do caminho y = 2 x 2 - x .

Parece complicado, não é? 😐

O trabalho de uma força é dado por

W = ∫ F · d r

Como nesse caso a força é dada pela função vetorial F = 2 y , - x , então o produto interno F · d r será dado por

W = ∫ 2 y , - x · d x , d y = ∫ 2 y d x - x d y

W = ∫ 2 y d x - ∫ x d y

Assim podemos substituir o caminho nessa integral e aplicarmos os limites de integração.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

O nosso caminho é dado por y = 2 x 2 - x

Ou seja, substituímos y por 2 x 2 - x e consequentemente

d y d x = d 2 x 2 - x d x = 4 x - 1

d y = 4 x - 1 d x

Aplicando os limites de integração entre 0 e 1 (que é a variação em x ), temos

W = ∫ 2 y d x - ∫ x d y

W = ∫ 0 1 2 2 x 2 - x d x - ∫ 0 1 x 4 x - 1 d x

W = ∫ 0 1 4 x 2 - 2 x d x - ∫ 0 1 4 x 2 - x d x

Subtraindo as duas integrais...

W = ∫ 0 1 4 x 2 - 2 x - 4 x 2 - x d x

W = ∫ 0 1 - x d x

Pelo método de integração polinomial, temos

∫ - x d x = - x 2 2

∫ 0 1 - x d x = - 1 2

Portanto, temos

W = - 1 2 J

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

W = - 1 2 J

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