8. Considere um objeto sujeito a uma força F dada por F = y , 3 x . Calcule o trabalho dessa força do ponto r = 0,0 até o ponto r = 1,1 nos seguintes caminhos:

a) y = x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão queremos obter o trabalho de uma força vetorial F = y , 3 x para levar um objeto de r = 0,0 para r = 1,1 através do caminho y = x .

Parece complicado, não é? 😐

O trabalho de uma força é dado por

W = ∫ F · d r

Como nesse caso a força é dada pela função vetorial F = y , 3 x , então o produto interno F · d r será dado por

W = ∫ y , 3 x · d x , d y = ∫ y d x + 3 x d y

W = ∫ y d x + ∫ 3 x d y

Assim podemos substituir o caminho nessa integral e aplicarmos os limites de integração.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

O nosso caminho é dado por y = x

Ou seja, substituímos y por x e consequentemente

d y d x = d x d x = 1

d y = d x

Aplicando os limites de integração entre 0 e 1 , temos

W = ∫ y d x + ∫ 3 x d y

W = ∫ 0 1 x d x + ∫ 0 1 3 x d x

Calculando as integrais...

∫ x d x = x 2 2 → ∫ 0 1 x d x = 1 2

∫ 3 x d x = 3 x 2 2 → ∫ 0 1 3 x d x = 3 2

Substituindo em W , temos

W = ∫ 0 1 x d x + ∫ 0 1 3 x d x

W = 1 2 + 3 2 = 4 2

W = 2   J

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

W = 2   J

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