8. Considere um objeto sujeito a uma força F dada por F = y , 3 x . Calcule o trabalho dessa força do ponto r = 0,0 até o ponto r = 1,1 nos seguintes caminhos:

c) y = x 3

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nessa questão queremos obter o trabalho de uma força vetorial F = y , 3 x para levar um objeto de r = 0,0 para r = 1,1 através do caminho y = x 3 .

Parece complicado, não é? 😐

O trabalho de uma força é dado por

W = ∫ F · d r

Como nesse caso a força é dada pela função vetorial F = y , 3 x , então o produto interno F · d r será dado por

W = ∫ y , 3 x · d x , d y = ∫ y d x + 3 x d y

W = ∫ y d x + ∫ 3 x d y

Assim podemos substituir o caminho nessa integral e aplicarmos os limites de integração.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

O nosso caminho é dado por y = x 3

Ou seja, substituímos y por x 3 e consequentemente

d y d x = d x 3 d x = 3 x 2

d y = 3 x 2 d x

Aplicando os limites de integração entre 0 e 1 , temos

W = ∫ y d x + ∫ 3 x d y

W = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 0 1 3 x 3 x 2 d x

W = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 0 1 9 x 3 d x

Calculando as integrais pelo método de integração polinomial...

∫ x 3 d x = x 4 4 → ∫ 0 1 x 3 d x = 1 4

∫ 9 x 3 d x = 9 x 4 4 → ∫ 0 1 9 x 3 d x = 9 4

Substituindo em W , temos

W = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 0 1 9 x 3 d x

W = 1 4 + 9 4

W = 10 4 J

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

W = 10 4 J

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