Um galão de azeite de 6,0   k g se move ao longo do eixo x de acordo com a equação x ( t ) = 0,5   t 4 + 2,0   t 2   - 4,0 , com x em metros e t em segundos, impulsionado por uma força F → . Determine

b ) O trabalho realizado por F → entre os instantes 1,0   s e 4,0 s.

Passo 1

Opa, belezinha?

Saca só! Temos um galão de azeite de massa m = 6,0   k g e ele move em apenas uma dimensão ao longo do eixo x seguindo a seguinte relação

x ( t ) = 0,5   t 4 + 2,0   t 2   - 4,0

através do impulsionamento da força F → . Essa alternativa pede para que calculemos o trabalho realizado pela força entre os instantes de tempo 1,0   s e 4,0   s . Beleza! Mas como fazer isso? Vamos lembrar o teorema do trabalho e da energia cinética! Que diz

W   =   Δ K

Se lembrarmos como calcular a energia cinética, resolvemos nosso problema! Vamos lá!

Passo 2

A energia cinética é definida como

K = 1 2 m   v 2

Precisamos calcular a velocidade, mas como fazemos isso? A velocidade é dada por

v → = d x ( t ) d t x ^

O que calculamos na alternativa anterior como

v → = [ 2,0   t 3 + 4,0   t ] x ^

Se considerarmos que em t = 2,0   s temos um v f = v ( t = 2,0   s ) e v i = v ( t = 1,0   s ) . Podemos calcular a variação da energia cinética como

Δ K = 1 2 m ( v   f 2 - v i 2 )

vamos fazer isso agora! Vem comigo!

Passo 3

Aplicando t = 2,0   s na expressão da nossa velocidade, temos que

v f → = [ 2,0   ( 2,0 ) 3 + 4,0   ( 2,0 ) ] x ^ = 16,0   m / s   x ^

agora, para t = 1,0   s , podemos calcular que

v i → = [ 2,0   ( 1,0 ) 3 + 4,0   ( 1,0 ) ] x ^ = 6,0   m / s   x ^

Usando que o quadrado de um vetor é simplesmente

v 2 = v → ⋅ v →

Podemos calcular que

v f 2 = ( 16,0 ) 2 = 256   m 2 / s 2

e, também para a velocidade inicial

v i 2 = ( 6,0 ) 2 = 36   m 2 / s 2

Portanto, a variação da energia cinética é tal que

Δ K = 1 2 ( 6,0 ) [ 256   -   36 ] = 660   J

Ou seja, pelo teorema do trabalho energia cinética, temos que

W = 660   J

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

W = 660   J

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