Uma força F → = ( c x - 3,00 x 2 ) i ^ age sobre uma partícula enquanto a partícula se desloca ao longo de um eixo x com F → em newtons, x em metros e c uma constante. Em x = 0 , a energia cinética da partícula é 20,0   J , em x = 3,00   m , é 11,0   J . Determine o valor de c .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Aqui temos uma partícula que sofre a ação de uma força dada por

F → = ( c x - 3,00 x 2 ) i ^

Essa força depende do deslocamento, e portanto, não poderemos utilizar simplesmente força vezes deslocamento como fazíamos no ensino médio. No entanto, a força dada depende de uma constante c , o enunciado, pede que encontremos esta constante utilizando a informação que em x = 0 a energia cinética é 20,0   J e em x = 3,00   m temos que a energia cinética é 11,0   J . Hmmm… Precisamos relacionar a energia cinética com esta força de alguma maneira, consegue imaginar como?

Como temos uma força conservativa, podemos simplesmente utilizar o teorema da energia cinética, que diz

Δ K   = W T

Ou seja, a variação da energia cinética K é igual ao trabalho realizado em um intervalo. Em nosso caso, esse trabalho será calculado utilizando

W T = ∫ 0 3 F → ( x ) ⋅ d r →

Acho que agora ficou mais claro, neh? Se não, vem comigo!

Passo 2

A primeira coisa é calcular esta integral! Note que a força está na direção i ^ e o deslocamento só acontece em x , portanto, temos que d r → = d x   i ^ . Ou seja, nossa integral toma a forma

W T = ∫ 0 3 F → ( x ) ⋅ d r → = ∫ 0 3 F ( x ) d x

Utilizando o formato da força dada, temos que

∫ 0 3 F ( x ) d x = ∫ 0 3 [ c x - 3 x 2 ] d x = c ∫ 0 3 x d x - 3 ∫ 0 3 x 2 d x

As integrais tem a seguinte forma

∫ 0 3 x d x = x 2 2 | 0 3 = 1 2 [ 3 2 - 0 2 ]

ou seja, resolvendo, temos que

∫ 0 3 x d x = 9 2

Para a segunda integral, temos que

∫ 0 3 x 2 d x = x 3 3 | 0 3 = 1 3 [ 3 3 - 0 3 ]

resolvendo

∫ 0 3 x 2 d x = 27 3 = 9

O trabalho é então

W = c ( 9 2 ) - 3 ( 9 ) = 9 c 2 - 27

Vamos guardar este resultado! Pois iremos precisar usá-lo no teorema da energia cinética! Bora lá!

Passo 3

O teorema da energia cinética diz então que

Δ K = W

Nós já calculamos o trabalho como W = 9 c / 2 - 27 . Como temos que a energia cinética em x = 0 é 20   J e em x = 3 temos que a energia cinética é 11,0   J . Podemos dizer que

Δ K = 11,0   J   -   20,0   J = - 9,0   J

Ou seja, temos que

9 c / 2 - 27 = - 9

A constante c pode ser isolada como

c = 4,00   N / m

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

c = 4,00   N / m

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