Em cada item a seguir, determine os intervalos em que f tem concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo. Em seguida, encontre seus pontos de inflexão.

(a) f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos onde a função tem concavidade para cima ou concavidade para baixo e determinar também seus pontos de inflexão. E quem poderá nos defender?

Ela mesmo. Isso porque existe um teorema que nos diz que se f ' ' x > 0 num intervalo a ,   b , então a função f é côncava para cima nesse intervalo. E se f ' ' x < 0 num intervalo ( a ,   b ) , então a função f é côncava para baixo nesse intervalo.

Então, o que nós vamos fazer é derivar a nossa função duas vezes e estudar o sinal dela, para f ' ' x > 0 e f ' ' x < 0 . Tá, e quando f ' ' x = 0 ? Aí teremos o famoso ponto de inflexão, que é quando a função muda de concavidade.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 4

Derivando ela em relação a x , vamos obter:

f ' x = 3 x 2 - 6 x - 9

Derivando mais uma vez em relação a x , temos:

f ' ' x = 6 x - 6

Passo 3

Agora vamos ver o que acontece quando f ' ' x > 0 :

6 x - 6 > 0

Isolando x :

6 x > 6 → x > 1

E quando f ' ' x < 0 , vamos ter:

6 x - 6 < 0

x < 1

Então, para x > 1 a nossa função tem concavidade voltada para cima e para x < 1 , temos a concavidade voltada para baixo. Além disso, para f ' ' x = 0 , vamos ter:

6 x - 6 = 0

6 x = 6 → x = 1

Logo, em x = 1 temos nosso ponto de inflexão.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x > 1

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x < 1

P o n t o   d e   i n f l e x ã o → x = 1

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