Considere em cada um dos itens abaixo a função dada por g(x) e em seguida determine o que

se pede:

g(x) = (x^3 + 3) / x

Quais são os pontos de inflexão do gráfico?

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Nosso objetivo é obter os pontos de inflexão do gráfico.

Mas o que são pontos de inflexão mesmo? Bem, por definição, esses são os pontos onde temos uma mudança na concavidade do gráfico. Ou seja, se p for ponto de inflexão, então a concavidade do gráfico antes de p é diferente da concavidade do gráfico depois de p .

Agora, como podemos obter informação sobre a concavidade de um gráfico?

Usamos a segunda derivada!!!! O sinal da segunda derivada indica a concavidade de uma função. Se for positivo, a concavidade é para cima, e se for negativo, para baixo.

Ou seja, podemos inferir que os pontos de inflexão ocorrem quando há mudança de sinal na segunda derivada da função. Então vamos começar derivando a nossa g ( x ) . Lembrando que

g ( x ) = x 3 + 3 x

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada.

g ( x ) = x 3 + 3 x

= x 2 + 3 / x

Derivando

d d x ( x 2 + 3 / x ) = 2 x - 3 / x 2

Agora, para encontrar a segunda derivada, derivamos novamente!!

d 2 d x 2 g ( x ) = d d x d d x g ( x )

= d d x ( 2 x - 3 / x 2 )

Agora, vamos derivar

d d x ( 2 x - 3 / x 2 ) = 2 + 6 / x 3

Prontinho, chegamos a conclusão que

d 2 d x 2 g ( x ) = 2 + 6 / x 3

Passo 3

Agora que temos a segunda derivada, vamos calcular os pontos onde ela é zero.

2 + 6 / x 3 = 0

⇔ 2 = - 6 / x 3

⇔ x 3 = - 3

⇔ x = - 3 3

Temos uma raiz. Agora, vamos ver o sinal da segunda derivada nos arredores de x = - 3 3

Como

d 2 d x 2 g ( x ) = 2 + 6 / x 3

para x < - 3 3 a segunda derivada é positiva. E para x > - 3 3 a segunda derivada é negativa

Logo x = - 3 3 é um ponto de inflexão de g .

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

x = - 3 3

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