UFPA, Sem Campus, Cálculo II, Listas de Cálculo 1 - Profº Tiago Coelho - Lista de Exercícios 5, Questão 2
A entropia por partícula s de um gás ideal monoatômico é dada pela equação de Sackur-Tetrode:
onde u é a energia interna por partícula e v o volume total por partícula e k, m e h são constantes positivas. De acordo com a termodinâmica, s deve ver uma função côncava de suas variáveis, e uma forma de garantir isso é que se tenha e . Verifique se a função s dada satisfaz as condições acima, ou então indique quais relações entre as variáveis e constantes devem ser satisfeitas para que as condições de concavidade sejam válidas.
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão nos pede para verificar se a entropia de Sackur-Tetrode satisfaz as condições da termodinâmica de que a entropia seja sempre uma função côncava de suas variáveis, que nesse caso, são a densidade de energia interna por partícula e o volume por partícula.
Bem, a gente sabe que a concavidade de uma função é obtida através de sua derivada segunda. Então só precisamos checar se para essas duas variáveis u e v, a função s(u,v) possui concavidade negativa. Então vamos lá derivar a função!
Passo 2
A entropia de Sackur-Tetrode consiste de dois termos: um termo logarítmico e um termo constante . Então, como a derivada de uma constante é nula, não vamos nos preocupar com esse segundo termo, nem para a derivação em relação à energia u, nem para o volume v. Começando pela derivação em relação ao volume e, utilizando as propriedades do logaritmo:
Temos que, como é constante em relação à v, só precisamos derivar a função :
Essa é a primeira derivada da entropia em relação ao volume. Para obter a segunda, só precisamos derivar mais uma vez. Então, vamos de novo!
Como a k é uma constante positiva e como o volume total por partícula também é sempre positivo, a gente tem que, por causa do sinal menos, a derivada segunda da entropia em relação ao volume é sempre negativa! Então, a concavidade dessa função em relação à essa variável v satisfaz a condição termodinâmica!
Agora só precisamos checar a mesma coisa para a energia u. Vamos lá então!
Passo 3
Mais uma vez, utilizando as propriedades da função logarítmica, podemos reescrever a entropia como:
Note que, só o terceiro termo dessa expressão depende de u: todo o resto é constante em relação à u! Então, para calcular a derivada segunda da entropia em relação à energia só precisamos considerar esse terceiro termo. Bora lá então!
E, então, a segunda derivada vai ser
E de novo temos a mesma situação do volume: como k é uma constante positiva e como a energia interna por partícula ao quadrado é sempre positiva, temos que, por causa do sinal de menos, a concavidade da entropia em relação à energia também satisfaz à condição termodinâmica. Então a entropia de Sackur-Tetrode é compatível com a termodinâmica!