UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 8, Questão 7c
Em cada item a seguir, determine os intervalos em que tem concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo. Em seguida, encontre seus pontos de inflexão.
(c)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos onde a função tem concavidade para cima ou concavidade para baixo e determinar também seus pontos de inflexão. E quem poderá nos defender?
Ela mesmo. Isso porque existe um teorema que nos diz que se num intervalo , então a função é côncava para cima nesse intervalo. E se num intervalo , então a função é côncava para baixo nesse intervalo.
Então, o que nós vamos fazer é derivar a nossa função duas vezes e estudar o sinal dela, para e . Tá, e quando ? Aí teremos o famoso ponto de inflexão, que é quando a função muda de concavidade.
Vamos lá!
Passo 2
Nossa função é dada por:
Derivando ela em relação a , vamos obter:
Derivando mais uma vez, usando a regra do quociente, temos:
Passo 3
Agora vamos ver o que acontece quando :
Daí temos:
Ou, aplicando o logaritimo em todos os termos, temos:
Então, nossa função tem concavidade para cima quando .
Passo 4
Da mesma forma, fazendo , temos:
E nossa função tem concavidade para baixo quando .
Passo 5
Agora vamos verificar nossos pontos de inflexão fazendo :
Portanto, nosso ponto de inflexão acontece em quando a concavidade da nossa curva muda.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉