Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.

f(x) = sen(x) + cosh(x) - 4*x^2 + 9

Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):

f ' x = cosh ⁡ x + sinh ⁡ x - 8 x

E derivando mais uma vez, pescamos a seguinte função:

f ' ' x = sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 8

Passo 2

Legal, agora vamos analisar o sinal da segunda derivada. Pra gente ver o sinal, temos que igualar a 0 , beleza? Então saca só:

f ' ' x = sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 8 = 0

sinh ⁡ x + cosh ⁡ x = 8

Eita, e agora? Bem, se lembrarmos da definição das funções hiperbólicas:

sinh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Ficamos com:

e x - e - x 2 + e x + e - x 2 = 8

e x - e - x + e x + e - x = 16

2 e x = 16

e x = 8

x = ln ⁡ 8

Então ficamos com um ponto de inflexão só!

Passo 3

Pra saber agora quando que a concavidade é pra cima a gente tem que achar quando a segunda derivada vai ser maior que zero:

f ' ' x > 0

sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 8 > 0

sinh ⁡ x + cosh ⁡ x > 8

e x - e - x 2 + e x + e - x 2 > 8

x > ln ⁡ 8

Então a concavidade pra cima é:

] ln ⁡ 8 , ∞ [

(os intervalos são abertos, heim... porque 8 não entra por ser o ponto de inflexão)

Passo 4

Pra saber agora quando que a concavidade é pra baixo a gente tem que achar quando a segunda derivada vai ser menor que zero:

f ' ' x < 0

sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 8 < 0

sinh ⁡ x + cosh ⁡ x < 8

e x - e - x 2 + e x + e - x 2 < 8

x < ln ⁡ 8

Então a concavidade pra baixo é:

] - ∞ , ln ⁡ 8 [

Resposta

Ponto de inflexão:

x = ln ⁡ 8

Concavidade pra cima:

] ln ⁡ 8 , ∞ [

Concavidade pra baixo:

] - ∞ , ln ⁡ 8 [

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