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Exercícios Resolvidos de Concavidade

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Enunciado

Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.

f x =     sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 4 x 2 + 9  

Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):

f ' x = cosh ⁡ x + sinh ⁡ x - 8 x

E derivando mais uma vez, pescamos a seguinte função:

f ' ' x = sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 8

Passo 2

Legal, agora vamos analisar o sinal da segunda derivada. Pra gente ver o sinal, temos que igualar a 0 , beleza? Então saca só:

f ' ' x = sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 8 = 0

sinh ⁡ x + cosh ⁡ x = 8

Eita, e agora? Bem, se lembrarmos da definição das funções hiperbólicas:

sinh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Ficamos com:

e x - e - x 2 + e x + e - x 2 = 8

e x - e - x + e x + e - x = 16

2 e x = 16

e x = 8

x = ln ⁡ 8

Então ficamos com um ponto de inflexão só!

Passo 3

Pra saber agora quando que a concavidade é pra cima a gente tem que achar quando a segunda derivada vai ser maior que zero:

f ' ' x > 0

sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 8 > 0

sinh ⁡ x + cosh ⁡ x > 8

e x - e - x 2 + e x + e - x 2 > 8

x > ln ⁡ 8

Então a concavidade pra cima é:

] ln ⁡ 8 , ∞ [

(os intervalos são abertos, heim... porque 8 não entra por ser o ponto de inflexão)

Passo 4

Pra saber agora quando que a concavidade é pra baixo a gente tem que achar quando a segunda derivada vai ser menor que zero:

f ' ' x < 0

sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 8 < 0

sinh ⁡ x + cosh ⁡ x < 8

e x - e - x 2 + e x + e - x 2 < 8

x < ln ⁡ 8

Então a concavidade pra baixo é:

] - ∞ , ln ⁡ 8 [

Resposta

Ponto de inflexão:

x = ln ⁡ 8

Concavidade pra cima:

] ln ⁡ 8 , ∞ [

Concavidade pra baixo:

] - ∞ , ln ⁡ 8 [

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se