Esboço de Curvas
Considere uma função duas vezes derivável e inversível.
Mostre que .
Considerando que é uma função decrescente cujo gráfico tem concavidade para cima, determine a concavidade do gráfico da .
Passo 1
Nós temos, pela definição, que a derivada da inversa é dada da seguinte maneira:
Ora, dado isso, vamos derivar dos dois lados novamente para achar o termo , usando a Regra da Cadeia do lado direito:
Essa seria a nossa resposta, só que temos a partir da definição que o . Sendo assim, ficamos com:
E, enfim, chegamos ao resultado esperado.
Passo 2
Ora, dada a fórmula da derivada segunda da inversa, que achamos na letra , podemos determinar o sinal da sua concavidade, que só dependerá de dois termos: e . Como dito na questão, se é decrescente para todo saberíamos que de qualquer argumento (valor para assumir) seria negativo sempre. Assim,
Foi dito também que tem concavidade para cima sempre, o que nos diz o sinal de através de um raciocínio similar:
Enfim, Na fórmula da derivada segunda da inversa teríamos o seguinte sinal para todo :
Concluímos que será, portanto, positiva para todo e qualquer . Como a concavidade depende do sinal da derivada segunda, vemos que é um gráfico côncavo para cima sempre.
Resposta
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