Considere f uma função duas vezes derivável e inversível.

(a) Mostre que f^(-1)''(x) = - (f''(f^(-1)(x)) / (f'(f^(-1)(x)))^3) .

b Considerando que f é uma função decrescente cujo gráfico tem concavidade para cima, determine a concavidade do gráfico da f^(-1) .

Passo 1

Nós temos, pela definição, que a derivada da inversa é dada da seguinte maneira:

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x

Ora, dado isso, vamos derivar dos dois lados novamente para achar o termo f - 1 ' ' x , usando a Regra da Cadeia do lado direito:

f - 1 ' x ' = 1 f ' f - 1 x '

f - 1 ' ' x = - f ' f - 1 x ' f ' f - 1 x 2

f - 1 ' ' x = - f ' ' f - 1 x f - 1 ' x f ' f - 1 x 2

Essa seria a nossa resposta, só que temos a partir da definição que o f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x . Sendo assim, ficamos com:

f - 1 ' ' x = - f ' ' f - 1 x 1 f ' f - 1 x f ' f - 1 x 2

f - 1 ' ' x = - f ' ' f - 1 x f ' f - 1 x 3

E, enfim, chegamos ao resultado esperado.

Passo 2

( b ) Ora, dada a fórmula da derivada segunda da inversa, que achamos na letra a , podemos determinar o sinal da sua concavidade, que só dependerá de dois termos: f ' f - 1 x e f ' ' f - 1 x . Como dito na questão, se f é decrescente para todo x saberíamos que f ' de qualquer argumento (valor para x assumir) seria negativo sempre. Assim,

f ' f - 1 x → N e g a t i v o   s e m p r e

Foi dito também que f tem concavidade para cima sempre, o que nos diz o sinal de f ' ' através de um raciocínio similar:

f ' ' f - 1 x → P o s i t i v o   s e m p r e

Enfim, Na fórmula da derivada segunda da inversa teríamos o seguinte sinal para todo x :

f - 1 ' ' x = - f ' ' f - 1 x f ' f - 1 x 3 = - + - 3

= - + ( - ) = ( + )

Concluímos que f - 1 ' ' x será, portanto, positiva para todo e qualquer x . Como a concavidade depende do sinal da derivada segunda, vemos que f - 1 é um gráfico côncavo para cima sempre.

Resposta

Resposta

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Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
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