Considere a função f   :   R →   R cuja derivada é f ' x = e - x ( x 2 - 2 x )

(c) os intervalos onde o gráfico de   f tem concavidade para cima ou para baixo

Passo 1

Faaaala, galeraaaa! Tudo belezinha?

Bom, para saber qual intervalo onde a concavidade da função é para cima ou para baixo, basta calcular a inequação da derivada segunda, quando f ' ' x > 0 .

f ' x = e - x x 2 - 2 x

Calculando a derivada segunda temos

f ' ' x = e - x x 2 - 2 x ' = e - x ' x 2 - 2 x + e - x x 2 - 2 x ' =

f ' ' x = - e - x x 2 - 2 x + e - x ( 2 x - 2 )

f ' ' x = - e - x x 2 + 2 x e - x + 2 x e - x - 2 e - x

f ' ' x = - e - x x 2 + 4 x e - x - 2 e - x

Assim, podemos reescrever

- e - x x 2 + 4 x e - x - 2 e - x = e - x ( - x 2 + 4 x - 2 )

Calculando a inequação, temos

e - x - x 2 + 4 x - 2 > 0

e - x > 0       o u         - x 2 + 4 x - 2 > 0

e - x > 0       ⇒ n ã o   t e m   s o l u ç ã o   x ∈ R

- x 2 + 4 x - 2 > 0

Resolvendo a equação do segundo grau

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 4 ± 4 2 - 4 - 1 ( - 2 ) 2 ( - 1 ) = - 4 ± 16 - 8 - 2

x ' = - 4 - 2 2 - 2 = 2 + 2

2 + 2 > 0

x ' ' = - 4 + 2 2 - 2 = 2 - 2

2 - 2 < 0

Passo 2

Por fim, podemos desenhar o intervalo em que a concavidade da função é para baixo ou para cima, como mostra a figura abaixo.

Logo, quando 2 - 2 < 0     a   f u n ç ã o   t e m   c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

2 + 2 > 0   a   f u n ç ã o   t e m   c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

Prontinho, até mais!

Resposta

2 - 2 < 0     a   f u n ç ã o   t e m   c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

2 + 2 > 0   a   f u n ç ã o   t e m   c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

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