Estude a função f(x) dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:

l) f(x) = ln(x) / x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para estudar a função f x = ln ⁡ x x dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.

Lembrando que o ponto de inflexão é um ponto sobre uma curva na qual a curvatura muda de sinal (de mais para menos e de menos para mais)

Para isso, precisamos descobrir a primeira e a segunda derivada para depois analisar o ponto de inflexão.

Não entendeu? Então bora junto!!😉

Passo 2

Bom... fazendo a primeira e a segunda derivada, temos

f ' x = 1 - ln ⁡ x x 2 ∴

f ' ' x = 2 ln ⁡ x - 3 x 3

Igualando f ' ' x a zero, temos:

2 ln ⁡ x - 3 x 3 = 0 ∴

x = e 3 2

Logo, temos que f e 3 2 = 3 2 e - 3 2 , ou seja, o seguinte ponto de inflexão:

e 3 2 , 3 2 e - 3 2

Passo 3

Agora, analisando f ' ' x , vemos que muda de sinal da seguinte forma:

  • Se x < e 3 2 , então f ' ' x < 0 ⇒ concavidade para baixo;
  • Se x > e 3 2 , então f ' ' x > 0 ⇒ concavidade para cima.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

No texto

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