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Exercícios Resolvidos de Concavidade

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Enunciado

Seja f derivável em R com f ' x f ' ' x < 4 - x 2 . Considere as afirmativas abaixo:

  1. O gráfico de f pode ser crescente com concavidade para baixo próximo de x = 1 .
  2. O gráfico de f pode ser decrescente com concavidade para cima próximo de x = - 4 .

É verdadeira ou são verdadeiras:

  1. As afirmativas (I) e (II).
  2. Nenhuma das afirmativas.
  3. Somente a afirmativa (I).
  4. Somente a afirmativa (II).

Passo 1

De f ' x f ' ' x < 4 - x 2 , podemos concluir que o produto da primeira e segunda derivadas está sempre abaixo da parábola 4 - x 2 .

Assim, vamos analisar a afirmação por afirmação. Começando pela afirmativa ( i ) :

  1. O gráfico de f pode ser crescente com concavidade para baixo próximo de x = 1 .

    2. Bem, no ponto x = 1 , temos:

    f ' 1 f ' ' 1 < 3

    Desconsiderando como zero e isolando:

    f ' ' 1 < 3 f ' 1

    Para f ser côncava para baixo, precisamos que f ' ' 1 < 0 , mas isso não implica na necessidade de f ' 1 < 0 , pois a fração:

    3 f ' 1

    Pode ser maior que zero e f ' ' 1 ser negativa, por conta do sinal de menor. Um número negativo será sempre menor que um positivo, então podemos ter f ' 1 > 0 (função crescente) e f ' ' 1 < 0 (côncava para baixo) e afirmativa (i) é correta.

    Passo 2

  2. O gráfico de f pode ser decrescente com concavidade para cima próximo de x = - 4 .

Novamente, temos que:

f ' - 4 f ' ' - 4 < 4 - 16 ⟹ f ' - 4 f ' ' - 4 < - 12

f ' ' - 4 < - 12 f ' - 4

Agora, para a função ser côncava para cima ( f ' ' - 4 > 0 ), precisamos que a f ' - 4 < 0 (decrescente), para que o sinal de menos desapareça na desigualdade. Isso é justamente o que sugere a afirmativa, então ela é correta também.

Assim, a alternativa correta é a letra a .

Resposta

As afirmativas (I) e (II).

Letra a.

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