1. Considere a f : R → R dada por f(x) = x * e^(-x^2) e suas derivadas f'(x) = 1 - 2 * x^2 * e^(-x^2) e f''(x) = 4 * x^3 - 6 * x * e^(-x^2)
  1. Determine os intervalos nos quais o gráfico de f é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós precisamos dizer quando o gráfico é côncavo para cima e para baixo. Para isso vamos analisar a nossa segunda derivada.

Para quem não lembra:

  • Se f ' ' x < 0 , o gráfico é côncava para baixo.
  • Se f ' ' x > 0 , o gráfico é côncava para cima.

Bora lá!

Passo 2

Então, galerinha, a o problema nos forneceu essa derivada,

f ' ' x = 4 x 3 - 6 x e - x 2

Para facilitar a nossa análise, vamos dividi-la em duas partes: a primeira parte é 4 x 3 - 6 x e segunda parte é e - x 2 .

A parte exponencial e - x 2 é sempre positiva. Mas a outra parte é polinômio de segundo grau, então temos que descobrir quando ele é positivo ou negativo.

4 x 3 - 6 x = 0

Como temos uma função do terceiro grau, vamos ter três raízes. De cara, temos que x = 0 é uma solução para equação acima. Agora precisamos achar as outras duas raízes.

Vamos reescrever a nossa equação, colocando 2 x em evidencia

4 x 3 - 6 x = 2 x 2 x 2 - 6 = 0

Opaa, agora podemos usar a parte 2 x 2 - 6 para achar as outras duas raízes,

2 x 2 - 6 = 0

x 2 = 6 2 = 3

x = ± 3

Agora temos os seguintes intervalos para analisar, - ∞ , - 3 , - 3 , 0 , 0 , + 3 e + 3 ,   + ∞ .

Agora vamos montar a nossa tabelinha!

Passo 3

Organizando os nossos dados e analisando o sinal da função em cada intervalo, ficamos com

Fazendo o produto das duas partes da derivada, ficamos com

Agora, sabendo que quando a derivada é positiva, temos uma concavidade para cima; e quando ela é negativa, a concavidade para baixo, teremos:

Resposta

  • A concavidade é para cima em - 3 , 0 e 3 , + ∞ .
  • A concavidade é para baixo em - ∞ , - 3 e 0 , 3 .

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