Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.
Passo 1
Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):
E a segunda derivada:
Passo 2
Legal, agora vamos analisar o sinal. Olhando para o denominador do segundo termo, vemos que é um ponto que dá problema. Até porque é uma indeterminação!
Show, então vamos guardar esse ponto no bolso e vamos partir pros pontos que zeram a segunda derivada, beleza? Simbora:
E temos só um ponto de inflexão!
Passo 3
Agora que a gente sabe o ponto de inflexão vamos testar alguns valores pra vermos o sinal da derivada, ok? Os valores, já que temos e como pontos interessantes, vão ser valores nesses intervalos:
Pro primeiro intervalo, vamos testar
Pro segundo intervalo, vamos testar
E pro último, vamos testar :
Como a concavidade é pra cima quando e pra baixo quando , vamos ficar com:
Resposta
Pontos de inflexão: