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Exercícios Resolvidos de Concavidade

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Enunciado

Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.

f x = 1 x 3 - 8 x 2  

Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Um truque aqui pra calcular a derivada vai ser lembrar que:

x = x 2

Como trabalhar com módulo de x 3 é complicado, vamos usar a definição pra reescrever:

x 3 = x 3 2 = x 6 = x 4 x 2 =     x 2 2 x 2 =   x 2 x

Como x 2 é sempre positivo:

x 3 =   x 2 x

Nós fizemos isso porque a derivada de x é mais tranquila de fazer do que de x 3 , saca só:

d x d x = d x 2 d x = 2 x 2 x 2 = 2 x x 2 2 x 2 = x 2 x = x x

d d x x = x x

Podemos reescrever então a função para:

f x = 1 x 3 - 8 x 2 = 1   x 2 x - 8 x 2

Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):

f ' x = - x 2 x ' x 6 - 16 x = - 2 x x + x 2 x x x 6 - 16 x  

f ' x = - 3 x x x 6 - 16 x = - 3 x x 5 - 16 x

Fazendo a segunda derivada:

f ' ' x = - 3 x ' x 5   - 3 x x 5 ' x 10 - 16

f ' ' x = - 3 x x x 5   - 3 x 5 x 4 x 10 - 16 = - 3 x x 4   - 15 x x 4 x 10 - 16

f ' ' x = - 3 x   - 15 x x 6 - 16 = - - 12 x x 6 - 16

f ' ' x = 12 x x 6 - 16

Passo 2

Legal, agora vamos analisar o sinal. Olhando para o denominador da primeira parcela, vemos que o ponto x = 0 é um ponto que da problema por gerar uma indeterminação. Então salva ai esse ponto. Agora, vamos analisar o sinal da segunda derivada. Pra isso, só partir pro clássico “deriva e iguala à 0 ”. Simbora:

f ' ' x = 12 x x 6 - 16 = 0

12 x x 6 = 16 → 12 x = 16 x 6 → x = 4 3 x 6 →

→ x 2 = 4 3 x 6 → x 2 = 16 9 x 12 → x = ±   16 9 x 12 →

→   x = ± 4 3 x 6 → x 5 = ± 3 4

x = ± 0,944

Opa, dois pontos de inflexão e um ponto que a segunda derivada não esta definida. Show, vamos analisar então o sinal dela para os intervalos

x < - 0,944

- 0,944 ≤ x < 0

0 ≤ x ≤ 0,944

x > 0,944

Passo 3

Como os intervalos são x < - 0,944

- 0,944 ≤ x < 0

0 ≤ x ≤ 0,944

x > 0,944

Vamos escolher valores que estejam dentro desse intervalo, beleza? Pro primeiro, se eu escolher x = - 1

f ' ' - 1 = 12 - 1 - 1 6 - 16 = 12 . 1 1 - 16 = - 4

Pro segundo intervalo, vamos usar x = - 0,5 :

f ' ' - 0,5 = 12 - 0,5 - 0,5 6 - 16 = 12 . 0,5 0,015625 - 16 = 368

Pro terceiro intervalo, vamos usar x = 0,5 :

f ' ' 0,5 = 12 0,5 0,5 6 - 16 = 12 . 0,5 0,015625 - 16 = 368

E pro último intervalo, vamos usar x = 1 pra testar, ficamos com:

f ' ' 1 = 12 1 1 6 - 16 = 12 . 1 1 - 16 = - 4

Como a concavidade é pra cima quando f ' ' x > 0 e pra baixo quando f ' ' x < 0 , fechamos a questão! A resposta final vai ser:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a   e m   - 0,944   ; 0 ∪ 0   ;   0,944    

C ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   -   ∞   ; - 0,944 ∪ 0,944   ;   ∞

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a   e m   - 0,944   ; 0 ∪ 0   ;   0,944    

C ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   -   ∞   ; - 0,944 ∪ 0,944   ;   ∞

Pontos de inflexão:

x = ± 0,944

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Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se