Seja y = f(x) uma função contínua em R tal que:

f(0) = 0, f(2) = 2 e f(-1/2) = -2.

Suponha que o gráfico de f' seja dada pela figura abaixo:

Responde o que se pede:

e) os pontos de inflexão, caso existam;

Passo 1

Olá gente bonita, tudo bem?

Nessa questão temos uma função f ( x ) , com a informação de algum dos seus pontos:

f 0 = 0 f 2 = 2 f - 1 2 =   - 2

Também foi dado o gráfico da derivada de f ( x ) , ou seja, f ' x .

Nesse item precisamos determinar os pontos de inflexão.

Ou seja, são os pontos em que há mudança na concavidade da função. Basicamente, a segunda derivada é nula, ou f ' ( x ) está em pontos de mudança do sentido do seu crescimento.

No item anterior, determinamos os intervalos em que a concavidade é para cima ou para baixo.

Para determinar os pontos de inflexão, basta vermos os pontos em que houve essa mudança, beleza?

Vamo nessa!

Passo 2

No item anterior, encontramos os seguintes intervalos de concavidade:

c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a :   - ∞ ,   0 ∪ ( 2 , + ∞ )

c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o : 0,2

Portanto, o ponto em que houve uma mudança da “concavidade para cima” pra “concavidade para baixo” (e vice-versa), foi:

x 1 = 2

Esse é justamente o pontos de mínimo relativo da derivada de f . Ou seja, o pontos em que f ' ' x = 0 .

Uma observação importante é que, apesar da concavidade mudar antes e depois de x = 0 , como esse ponto é uma assíntota vertical para f ' ( x ) , ele não é considerado um ponto de inflexão.

Prontinho pessoal!

Valeeeu, até mais!

Resposta

x = 2

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